Фізична модель краплі і проблеми турбулентності
Стаття написана Павлом Чайкою, головним редактором журналу «Пізнавайка». З 2013 року з моменту заснування журналу Павло Чайка присвятив себе популяризації науки в Україні та світі. Основна мета як журналу, так і цієї статті – пояснити складні наукові теми простою та доступною мовою.
Корпускулярно-хвильовий дуалізм квантової фізики, що звів воєдино непоєднуване – частинку і хвилю, був найгострішим епізодом знаменитої драми ідей сучасної науки. Про все це багато писали. Після книги Д. Даніна “Нільс Бор” авторам науково-художньої прози треба буде довго збирати сили, щоб повернутися знову до цієї, звичайно, бездонної теми. І тут згадуються раптом пушкінські рядки:
«Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит…»
Той, інший, стосується нашого звичайного макросвіту, де продовжує безроздільно і по праву панувати стара добра механіка. І, тим не менш «приклад» цей теж являє собою варіант єдності хвилі і частинки. Перед дослідником – наочний і реальний дуалізм, для пояснення якого немає потреби в нових принципах і в болісній ломці старих понять. Однак незважаючи на багато спроб, досі не створена мало-мальськи загальна фізико-математична теорія цього явища, і купи здобутих в дослідах даних все ще поки залишаються нез’ясованими, не зведеними в єдину систему. Це вражаюче явище, в якому органічно з’єднані хвиля і частка, до того ж загальновідомо і проявляється, так би мовити, на побутовому рівні — варто лише відкрити кран і спостерігати, як водяний струмінь розпадається на краплі. Це “звичайне диво”, яке нікого не хвилює, крім декількох гідромеханіків, що досліджують проблеми стійкості руху, зовсім не просте за своєю фізичною природою і закономірностями.
Справді, чому струмінь взагалі розпадається на якісь краплі? Тік би собі до найближчої перешкоди, розповзаючись по поверхні тонкою плівкою. Вперше на питання це відповів англійський фізик Релей в 1878 році, поклавши початок цілому напрямку в гідродинаміці, який набув практичного значення для сучасної техніки, розпилювання рідин, як відомо, використовується в автомобільних, реактивних і ракетних двигунах, в котельних установках і т.д. Ідея Релея базується всього на двох простих фізичних передумовах.
Будь-який струмінь піддається дії малих збурень, породжених шорсткістю стінок каналу, зовнішніми вібраціями, взаємодією з середовищем і т.д. Якщо ці збурення почнуть збільшуватися, западини хвиль заглиблюватися, гребені — рости, струмінь виявиться нестійким щодо малих коливань, а хвиля стане майбутньою краплею; іншими словами, хвиля, що розвинулася повинна відокремитися від струменя у вигляді частинки з діаметром, приблизно рівним довжині хвилі.
Релей отримав закономірність, яка показувала, що різні нестійкі хвилі ростуть з різною швидкістю в залежності від їх довжини. Але є сама «легка на підйом» так звана оптимальна хвиля, що має максимум зростання серед всіх інших. Теорія дала для неї величину, приблизно в 4,5 рази більшу за діаметр струменя. Релей висунув гіпотезу, що діаметр краплі визначається величиною саме цієї хвилі.
Результати досліду підтвердили теорію Релея і вірність передбачених розмірів крапель. Правда, вона стосувалася лише повільної течії нев’язкої рідини – трохи прочинений водопровідний кран. Іскрове фотографування струменів, що розпадаються за допомогою сучасної апаратури, з експозицією 104 секунди, відобразило невидиму простим оком надзвичайну картину розпаду. З’ясувалися нові подробиці: наприклад, з ростом швидкості закінчення змінюється форма коливань від симетричних до антисиметричних, а величина нестійких хвиль падає. Але найістотніше – замість однакових крапель виникає цілий спектр розмірів.
«Водна феєрія» розпаду особливо красива і химерна на струмені, що випливає з відцентрової форсунки. Це простий за принципом пристрій дозволяє дрібно розпорошити паливо і у вигляді так званого факела розпилювання наситити рідкими частинками потрібний обсяг камери згоряння. Ракета, що винесла на орбіту Гагаріна, двигун авіалайнера і багато інших пристроїв забезпечені форсунками аналогічного типу.
Відцентрова форсунка – це невелика циліндрична камера з малим, кілька міліметрів в діаметрі, вихідним соплом і тангенціальним, тобто дотичним, підведенням рідини. Рідина, вступаючи в камеру, закручується і виходить з сопла тонкою пеленою. На ній починають розвиватися незмінні хвилі збурень. Фізика розпаду та ж, що і у круглого струменя, тільки проявляється в інших формах. Іскрові фотографії факела розпилювання при різних тисках подачі рідини від трьох до тридцяти атмосфер (вертикальна заставка) роблять невидиме видимим.
Зростання амплітуди збурень призводить до розпаду пелени, і ми бачимо кругові хвилі і потім хвилясті кільцеві нитки — це відокремився гребінь кільцевої хвилі. Далі вона рветься на фрагменти, а ті перетворюються в краплі. При високих тисках, в багато десятків атмосфер, з поверхні струменя у вигляді рою крапель зриваються гребені найдрібніших хвиль, перш ніж кільце встигне повністю сформуватися.
Цікаве подальше життя краплі. Відокремившись від струменя, рідка частка продовжує нести на собі хвилю, і її поверхня пульсує. Якщо швидкість руху краплі, а отже, і аеродинамічні сили впливу середовища не дуже великі, вона збереже форму, близьку до сферичної. При великих швидкостях польоту ці сили деформують краплю, знову настає розпад, і так далі — за схемою ланцюгової реакції. (Дуже цікаві закономірності дроблення крапель, деякі закономірності вдалося відкрити автору цієї статті, але це вже інша, особлива історія.)
Отже, ми розповіли про складний і різноманітний процес розпилювання, але за вирахуванням теорії Релея, яка стосується все-таки дуже приватного випадку, дали лише «словесний портрет» явища. Чого ж домоглася сучасна теорія розпилювання і що дала вона вічно спраглій інженерній практиці? Відповідь буде коротка – по суті трохи, а практично майже нічого. Численні спроби наскільки-небудь серйозно просунути теорію в рамках звичайної класичної механіки не дали помітних принципових результатів з часів Релея до наших днів. Хоч трохи серйозний математичний підхід обривається в початковій стадії процесу — далі область гіпотез, немає ні повної і обгрунтованої моделі явища, ні знання всіх граничних умов, ні відповідного математичного апарату.
Могутні руки сучасних комп’ютерів безпорадно обмацують чавунну поверхню гігантської гирі, яка не має ручок, за які можна по-справжньому вхопитися.
«Розрахуйте розмір краплі наших форсунок», – просять інженери реактивної техніки, дизелісти, конструктори дощувальних агрегатів і багато інших. Але основна проблема визначення спектра діаметрів крапель при розпаді струменів, поточних зі швидкостями, використовуваними в техніці, абсолютно не піддається вирішенню. Крупність рідких частинок вимірюють експериментальним шляхом, за допомогою хитромудрих методик. Завдання не з легких. У дослідах при технічно цікавих режимах доводиться мати справу з роєм в сотні тисяч рідких частинок, діаметра від 0,1 до 100 мікрон, що летять зі швидкістю 100 метрів в секунду і більше. Всім, хто мав справу з такими експериментами, пам’ятний «кошмар представництва», коли необхідно проводити величезну кількість вимірювань, щоб вийшли представницькі результати, що дозволяють правильно судити про розподіл розмірів у всій безлічі частинок.
Одним словом, проблема стійкості течії і розпаду рідких струменів не піддається поки вирішенню за допомогою класичних концепцій і методів. Природно, виникає думка про імовірнісні моделі явища: можна припускати, що ймовірність появи краплі певної крупності тим більше, чим більше швидкість зростання амплітуди хвилі. А імовірнісний підхід до проблеми, яка спочатку здавалася чисто класичною, викликає привид квантових аналогій. Привид цей знаходить якусь плоть, якщо згадати про корпускулярно-хвильовий дуалізм в мікросвіті крапель і струменів; хвиля і рідка частинка існують завжди разом. Хвиля на струмені – майбутня крапля, хвиля на краплі — можливість подальшого розпаду. І тоді ми отримуємо право на гіпотезу: можливо, розміри в спектрі крапель пов’язані з певним процесом квантування?
Фізична аналогія між двома явищами проглядається досить явно, хоча і носить загальний характер. Краплеутворення — наслідок втрати стійкості вихідної системи. Перехід від одного стану рівноваги, від струменя до рою крапель або від більшої краплі до дрібних завжди відбувається в супроводі хвиль. Перескок електрона з однієї орбіти на іншу з необхідним випромінюванням електромагнітної хвилі — теж результат порушення стійкості вихідного стану атома і перехід до іншого, рівноважного.
Спокусливо скористатися цими аналогіями для того, щоб вирішити, нарешті заплутану проблему краплеутворення. Адже вона, крім принципового значення для науки, вельми важлива і для практики. Впоравшись з цією проблемою, можна було б розібратися і в явищі турбулентності, яким визначається опір летючих літаків, рухомих кораблів, газу і нафти, що течуть по магістралях, і багато іншого. Спектр турбулентних пульсацій в трубі досі, як і спектр розпилювання, не піддається аналітичному опису в рамках класичної гідродинаміки. Відомий французький вчений Бусінеск сказав, що проблема турбулентності ввергає його в стан жаху і відчаю. У цих словах як би чується відгомін тих настроїв, що оволоділи фізиками на початку минулого століття з появою квантових уявлень.
Отже, різні за зовнішнім виглядом і єдині за фізичною природою явища – розпаду рідких струменів, дроблення крапель, розсіювання цівки диму на вихори, виникнення турбулентності і багато інших — досі не зведені до загальних закономірностей. Але чому? Їх, цих закономірностей, не існує в природі, і, отже, нічого їх шукати. Або вони просто поки ще не відкриті? Іншими словами, що це – буря в склянці води або світ в краплі? Тверезі прихильники «склянки» скажуть: до чого весь цей шум? Є закони механіки, всеосяжні рівняння гідроаеродинаміки, де враховані всі діючі в звичайному макросвіті сили – важка артилерія рівнянь Нав’є-Стокса. Вирішуйте їх. Повинні вийти однозначні залежності.
Досвід показує, що спектр крапель породжений хвилями збурень. Прекрасно – будуйте фізичну модель явища, де на довгі хвилі, що розвиваються поступово накладаються все більш дрібні. Романтики «світу в краплі води» дадуть відповідь: по цьому старому класичному шляху намагалися йти багато. Література містить сотні робіт та імен авторів з питань розпаду струменів, а ніяких загальних закономірностей не отримано. Так, є точні рівняння. Але ось біда – для них не можна точно сформулювати початкові і граничні умови, без чого рішення неможливе. Тобто невідомий набір малих збурень, їх амплітуд і швидкостей, накладених на струмінь в момент закінчення і далі, в ході її деформації. Фактори, що збурюють змінюються від випадку до випадку, вони імовірнісні, по суті, залежать від шорсткості стінок каналу або найменшого відступу вихідного отвору від форми кола. Словом, тут безліч майже або зовсім не врахованих дрібних впливів – звичайна «проклята невідомість» в явищах нестійкості, де малі причини призводять до великих наслідків. Тому не проходить класична модель накладення хвиль. У нас є важка артилерія рівнянь, але немає способу точно навести на ціль їх потужні стовбури.
І до того ж залишається ще одне питання: Як перейти від безперервного потоку рідини до дискретного рою рідких частинок? Адже рівняння класичної механіки описують тільки безперервні процеси. Тут чується голос Шредінгера, одного з головних «дійових осіб і виконавців» квантової драми ідей: «якщо ці прокляті квантові скачки дійсно збережуться, я пробачити собі не зможу, що взагалі зв’язався колись з квантовою теорією». Мікротрагедія макросвіту, звичайно, менша за масштабами трагедії ідей, народжених світом атома. Але і вона вимагає до себе уваги вчених, підігрівається запитами інженерів і вимогами практики.
Шанси на вирішення тієї чи іншої проблеми можна оцінювати за допомогою такого собі «коефіцієнта подяки», дробу, чисельник якого — практична важливість і актуальність даного завдання, жага пізнання світу, а знаменник — труднощі його вирішення, ступінь недостатності розуміння суті. Коефіцієнт цей відображає відому істину: людство по-справжньому ставить і береться вирішувати, використовуючи весь накопичений науковий і технічний потенціал і кидаючи в бій свій геніальний авангард, тільки ті завдання, які йому під силу. З плином часу коефіцієнт подяки взагалі зростає. Але можливий і зворотний зигзаг.
Наприклад, ще років десять тому вірусологи, озброївшись електронним мікроскопом, оголосили проблему грипу вирішеною. Тепер, через пристосувальну мінливість вірусу, ліки на нього не діють, і «коефіцієнт подяки» різко впав. Аналогічно і з ідеєю штучного інтелекту; початковий ентузіазм дослідників разом з коефіцієнтом подяки зменшуються. Для квантової теорії година пробила в першій половині XX століття, коли велетенська значимість проблеми будови матерії перевищила величезні труднощі на її шляху. А ось для проблеми стійкості руху і розпаду струменів коефіцієнт подяки в даний час досить низький. Але це сьогодні. Завтра може бути по-іншому, і є підстави так думати. Адже свого часу крапля виявилася корисною атому, підказавши ідею відомої крапельної теорії ядра.
Можливо, тепер, погашаючи борг, квантова теорія дасть, в свою чергу, корисні ідеї для вирішення проблеми розпаду рідких струменів на краплі — і це відразу різко зменшить знаменник коефіцієнта подяки, чисельник якого і так зростає рік від року.
Автор: М.Волинський, доктор технічних наук.