Математичний маятник

Визначення

Уявіть собі якусь механічну систему, яка складається з якоїсь матеріальної точки (тіла), яка висить на невагомій нитці (при цьому маса нитки мізерно мала в порівнянні з масою тіла). Ось така механічна система і є маятником або осциллятором, як його ще називають. Втім, можуть бути й інші види такого пристрою. Чим же математичний маятник, осцилятор цікавий для нас? Справа в тому, що з його допомогою можна проникнути в суть багатьох цікавих природних явищ у фізиці.

Коливання

Формула періоду коливання математичного маятника вперше була відкрита голландським вченим Гюйгенсом в далекому XVII столітті. Будучи сучасником Ісаака Ньютона, Гюйгенс був дуже захоплений такими ось маятниками, захоплений настільки, що навіть винайшов спеціальний годинник з маятниковим механізмам, і годинник цей був одним з найточніших для того часу.

Маятниковий годинник Гюйгенса.

Поява подібного винаходу мала велику користь для фізики, особливо в сфері фізичних експериментів, де точне вимірювання часу є дуже важливим фактором.

Але повернімося до маятника, отже, в основі роботи маятника лежать його коливання, які можна виразити формулою, точніше наступним диференціальним рівнянням:

x + w2 sin x = 0

Де х (t) – невідома функція (це кут відхилення від нижнього положення рівноваги в момент t, виражений в радіанах); w – позитивна константа, яка визначається з параметрів маятника (w = √ g / L, де g – це прискорення вільного падіння, а L – довжина математичного маятника (підвіс).

Крім, власне коливань маятник може перебувати і в положенні рівноваги, при цьому сила тяжіння, що діє на нього, буде врівноважуватися силою натягу нитки. Звичайний плоский маятник, який перебуває на нерозтяжній нитці, є системою з двома ступенями свободи. Але якщо, наприклад, нитку замінити на стрижень, тоді наш маятник стане системою лише з одним ступенем свободи, так як його рухи будуть двомірними, а не тривимірними.

Але якщо ж наш маятник все-таки перебуває на нитки і при цьому робить інтенсивні коливання вгору-вниз, тоді механічна система набуває стійке положення, іменоване «верх ногами», ще її називають маятником Капіци.

Властивості

У маятника є ряд цікавих властивостей, підтверджених фізичними законами. Так період коливань всякого маятника залежить від таких факторів, як його розмір, форма тіла, відстань між центром ваги і точкою підвісу. Тому визначення періоду маятника є не простим завданням. А ось період математичного маятника можна розрахувати точно за формулою, яка буде приведена нижче.

В ході спостережень за маятниками були виведені наступні закономірності:

• Якщо до маятника підвішувати різні вантажі з різною вагою, але при цьому зберігати однакову довжину маятника, то період його коливання буде однаковим незалежно від маси вантажу.
• Якщо при запуску коливань відхилити маятник на не дуже великі, але все ж таки різні кути, то він стане коливатися в однаковим період, але за різними амплітудами. Отже, період коливання у подібного маятника не залежить від амплітуди коливання, таке явище було названо ізохронізмом, що з давньогрецької можна перекласти як «хронос» – час, «ізо» – рівний, тобто «рівночасовий».

Період

Період маятника – показник, який представляє період власне коливань маятника, їх тривалість. Формулу періоду математичного маятника можна записати в такий спосіб.

T = 2π √L / g

Де L – довжина нитки математичного маятника, g – прискорення вільного падіння, а π – число Пі, математична константа.

Період малих коливання математичного маятника ніяк не залежить від маси маятника і амплітуди коливання, в цій ситуації він рухається як математичний маятник із заданою довжиною.

Практичне застосування

Ось ми добралися і до самого цікавого, навіщо потрібен математичний маятник і яке його застосування на практиці в життя. В першу чергу прискорення математичного маятника використовується для геологорозвідки, з його допомогою шукають корисні копалини. Як це відбувається? Справа в тому, що прискорення вільного падіння змінюється з географічною широтою, так як щільність кори в різних місцях нашої планети далеко не однакова і там де залягають породи з більшою щільністю, прискорення буде трішки більшим. А значить, просто підрахувавши кількість коливань маятника можна відшукати в надрах Землі руду або кам’яне вугілля, так як вони мають більшу щільність, ніж інші пухкі гірські породи.

Також математичним маятником користувалися багато видатних вчених минулого, починаючи з античності, зокрема Архімед, Аристотель, Платон, Плутарх. Так Архімед і зовсім використовував математичний маятник у всіх своїх обчисленнях, а деякі люди навіть вірили, що маятник може впливати на долі людей і намагалися робити з його допомогою передбачення майбутнього.

Автор: Павло Чайка, головний редактор журналу Пізнавайка

При написанні статті намагався зробити її максимально цікавою, корисною та якісною. Буду вдячний за будь-який зворотний зв'язок та конструктивну критику у вигляді коментарів до статті. Також Ваше побажання/питання/пропозицію можете написати на мою пошту pavelchaika1983@gmail.com або у Фейсбук.

Сторінка про автора