Симметрия в науке и искусстве

Статья написана Павлом Чайкой, главным редактором журнала «Познавайка». С 2013 года, с момента основания журнала Павел Чайка посвятил себя популяризации науки в Украине и мире. Основная цель, как журнала, так и этой статьи – объяснить сложные научные темы простым и доступным языком

Симметрия — это соразмерность, закономерное взаимное соотношение частей целого, присущее всем творениям природы. Мечта человека — выявить эту закономерность «в чистом виде» и воплотить в своем творчестве. Но, оказывается, для этого нужно сначала представить себе и саму природу как бы «искусственно сотворенной», специально «задуманной» и «сконструированной», иначе нам не удастся ни познать ее естественное строение, ни научиться его изменять и преобразовывать. Изучение симметрии — ключ к решению подобной задачи.

Слово «симметрия», унаследованное нами от древних греков, буквально значит «соразмерность». В античности и средневековье симметрию считали основанием гармонии и красоты, целью всякого творчества и венцом его достижений, символом высшего равновесия и конечного совершенства.

С давних времен симметрией интересовались строители, врачи и художники, а в теоретическом плане — математики, впоследствии выделившие ее изучение в специальную ветвь своей науки. Симметрия и сегодня остается предметом глубоких исследований и горячих дискуссий в естествознании, инженерии, искусстве и философии.

Ученые утверждают, что листья цветы, тела животных и людей обладают зеркальной симметрией. В доказательство предлагается мысленно или на чертеже рассечь эти натуральные тела пополам отражающей плоскостью, или «идеальным зеркалом», и убедиться, что наблюдаемый паттерн выступает как бы результатом операции отражения одной из половин. Увеличение числа мысленных зеркал дает симметрию более сложного вида. Известны и другие разновидности симметрии: поворотная, трансляционная и цветная.

Нарисовав или вырезав из бумаги восьмерку и расположив ее перед собой вертикально, мы получим некий видимый паттерн. Если немного повернуть восьмерку на плоскости, наклонив ее вправо или влево, исходный паттерн изменится, но при повороте на 180 градусов он снова в точности повторится. Фигура восьмерки обладает, следовательно, поворотной симметрией второго порядка. Трехлопастный пропеллер «повторяет себя» при повороте на 120 градусов (симметрия третьего порядка), крестовина — на 90 градусов, пятилепестковый цветок лютика — на 72 градуса (симметрия пятого порядка) и т. д. Фигуры вроде восьмерки и крестовины, кроме поворотной, имеют также и полную зеркальную симметрию, ломаный крест — только поворотную; сложная комбинация обеих встречается у некоторых кристаллов.

Трансляционную, или «переносную», симметрию дает рисунок на обоях, линейные орнаменты, кружевные ленты, паркетные полы, черепичные крыши, изразцовые печи, мощенные плитами мостовые, шеренги солдат, одетых в униформу, узор на шкуре зебры или змеи — вообще любая повторяемость в пространстве через одинаковое или закономерно изменяющееся расстояние.

Все три разновидности классической симметрии — отражение, поворот и перенос — могут объединяться (так, поворот с трансляцией вдоль оси поворота дает «винтовую лестницу», а поворот с равномерным растягиванием радиуса — спираль), образуя большое, но все же конечное число типов паттернов, наблюдаемых в живой и неживой природе.

Вызов здравому смыслу

Неклассическая цветная симметрия возникает в тех случаях, когда «идеальное зеркало» становится к тому же и «цветоактивным», то есть ведет к перемене цвета или какого-либо иного непространственного параметра отражаемого (например, магнитных свойств атомов). Есть и другие варианты симметрии, не сводимые к манипулированию с многогранниками или какими-либо иными геометрическими фигурами: они описываются невыполнимыми операциями, существуют лишь в нашем сознании и называются невозможными, будучи, таким образом, совершенно абстрактными. Но куда же ведет это абстрактное теоретизирование? Скрывается ли за ним хоть какое-нибудь объективное содержание? Как подобного рода умозрительные конструкции соотносятся с реальностью?

Ну вот хотя бы понятие зеркальной симметрии: мы же твердо знаем, что наши тела никакими зеркалами не рассекаются, и никакие доводы не заставят нас поверить, что некогда мы существовали в ущербно-половинном виде, имея только одну руку, ногу, пол головы и прочее, а потом некий дизайнер, движимый то ли состраданием, то ли оскорбленным эстетическим чувством, приставил к этим обрубкам зеркальную плоскость, да и отразил в ней нам недостающие части ради полноты комплекта…

Спору нет, здравый смысл ничего похожего в природе не увидит. Все элементы и операции симметрии создаются и совершаются в рамках нами же изобретаемых моделей — от наглядных и простых вроде карманного зеркальца, прислоняемого к сучку или камушку, и до изощренного аппарата математической теории групп. Испытывая эти модели любыми доступными нам способами, мы познаем их закономерности, большинство коих отнюдь не лежит на поверхности и раскрывается лишь в итоге длительных экспериментов — лабораторных или мысленных.

Так мы гораздо эффективнее используем к своей выгоде силы природы, несравненно уверенней заглядываем в глубины материи и узнаем о нашем окружении и о нас самих много такого, о чем мы никогда и помыслить не могли бы, не будь у нас столь верного и проницательного проводника, как паттерны симметрии.

Ярким свидетельством тому — успехи изучения структуры вещества.

Модели невидимого

С незапамятных времен люди восхищались симметрией кристаллов, но лишь около трехсот лет назад было установлено: углы между гранями одного образца минерала в точности равны углам между соответствующими гранями любого другого образца того же минерала. Строгое повторение характерной симметричности наводило на мысль о каком-то едином принципе, управляющем их образованием, и вселяло уверенность в том, что анализ внешней морфологии позволит понять ее причину — невидимую глазом внутреннюю структуру. Последняя же, согласно гипотезе, выдвинутой в конце XVIII века, должна была быть не чем иным, как повторением в трехмерном пространстве неких элементарных кирпичиков, обладающих симметрией того кристаллографического класса, к которому принадлежит минерал.

В начале XX века эксперименты подтвердили наличие в кристаллах регулярной атомной решетки: внешняя симметрия действительно оказалась следствием внутренней, сочетающей трансляцию с поворотом и отражением, то есть образующей винтовые оси и плоскости скользящего отражения (в наши дни благодаря этим знаниям налажено поточное производство искусственных «драгоценных камней» — от алмазов для абразивных работ до рубиновых стержней в лазерах).

Опять тот же вызов здравому смыслу: чтобы «открыть» атомную решетку, нужно было предварительно ее изобрести, сделать ее «дизайн», вообразить себе в качестве возможной молекулярной структуры! Сегодня это легко: каждый школьник знает, что вещество состоит из молекул, а те строятся из атомов. Но вот откуда это известно? Отдельного атома никто никогда не видел, да и не в силах увидеть. У молекул нет ощутимой формы, цвета, вкуса, фактуры, они не жестки и не мягки, не гладки и не шероховаты; наши органы чувств не позволяют нам воспринимать их «поштучно», а наш повседневный язык абсолютно не годится для их описания.

Понятие атома и молекулы было введено в науку чисто умозрительно, но затем химики, стараясь представить самим себе и показать коллегам, как именно атомы, по предположению, комбинируются и образуют те или иные вещества, принялись создавать предметные модели из раскрашенных деревянных, металлических и пластмассовых шаров, изображающих атомные ядра, и стержней, изображающих межатомные связи. На лабораторном столе конструировался видимый и осязаемый образ того, что ранее существовало лишь перед мысленным взором химика,— трехмерные фигуры напоминали знакомые предметы и получали названия вроде «конверта», «пропеллера», «кресла» или «лодки», у которой были «борта», «нос», «корма», «бушприт», «флагшток» и т. д.

Разглядывая затем рукотворные произведения собственной фантазии, химики делали определенные выводы о степени устойчивости данной молекулы, о ее способности вступать в реакцию с другими, тем же способом смоделированными молекулами, образовывать новые соединения и т. д. Потом они ставили эксперименты с реальными веществами — проводили реакции, измеряли и взвешивали, делали рентгенокристаллограммы и напряженно всматривались в чередования темных и светлых пятен на снимках, подвергая их все более утонченной и абстрактной математической интерпретации и пытаясь вообразить себе возможные траектории икс-лучей, давших при падении на фотопластинку тот или иной паттерн, а затем — характер препятствий, заставивших эти лучи искривиться при прохождении через вещество именно таким образом.

Получив результаты, в чем-то совпадающие, а в чем-то расходящиеся с предсказанными, химики, работавшие все в более тесном содружестве с кристаллографами и математиками, усложняли и совершенствовали свои модели, добавляя новые шары и стержни, изменяя их конфигурацию, расстояния и так далее, стремясь добиться более адекватного отображения истинной, то есть отвечающей опыту молекулярной структуры. Кое-кто из таких ученых (иногда даже весьма крупных) настолько увлекался этим занятием, что начинал неосторожно принимать свои творения за действительное устройство вещества, и тогда его научное творчество сразу же тормозилось, а то и фатально останавливалось: ведь в реальных молекулах нет решительно ничего похожего на шары, стержни и какие-либо иные доступные нашему восприятию предметы.

В чем же заключена эвристическая мощь этих затейливых симметричных конструкций, напоминающих абстрактные скульптуры, и чем руководствуется исследователь, совершая очередной пробный шаг на пути конструированию того или иного паттерна?

Удачная модель молекулы разделяет со своим оригиналом одну важную особенность: «Свойства симметрии модели в точности совпадают со свойствами симметрии молекулы. Общность симметрии модели и молекулы служит путеводной нитью для воображения химика. Построив несколько различных моделей одной и той же молекулы, он может затем поинтересоваться геометрическими свойствами, общими для всех моделей. Именно этими свойствами может обладать и сама молекула, и она действительно обладает общими свойствами симметрии моделей».

Симметрия остается надежнейшим ориентиром ученых и при переходе от микро- к макромасштабам. Она выступает неотъемлемой частью языка и методов сементологов, изучающих осадочные породы, палеонтологов и геоморфологов, создающих модели гидро-, био- и тектонических явлений и процессов древнейших эпох, а также геофизиков, моделирующих внутреннее строение Земли по паттернам отражения сейсмических волн.

В этом случае исследователи по какой-то одной части явления или процесса реконструируют весь процесс, в том числе воссоздают и скрытые от глаз его закономерности. Ряд новейших исследований Мирового океана и возрождение забытой было теории дрейфа материков исходят из трактовки подводных хребтов в качестве своеобразных плоскостей симметрии, поскольку, например, расположение и возраст потухших вулканов по одну сторону хребта оказывается «зеркальным отражением» таких же структур по другую его сторону.

Во всех подобных случаях симметричный дизайн соответствующих моделей вещества, будь то на атомно-молекулярном или глобально-геологическом уровне, позволяет представить в зримых предметных образах то, что в своем естественном бытии либо совсем недоступно прямому наблюдению, либо заслонено от нас какими-то случайными чертами. Это решительно подрывает распространенное мнение о торжестве количественных методов и полном изгнании образных представлений из сегодняшней науки. И то и другое продолжает быть равно важным: чем сложнее проблемы, встающие перед современным исследователем, чем менее они даются ему в непосредственно ощутимой эмпирии, чем абстрактнее делается применяемый для их анализа математический аппарат, тем большая нужда в средствах чувственно-наглядного отображения изучаемой им реальности.

«Было бы весьма полезно,— заключает Джордж Флек,— если бы кто-нибудь из будущих химиков занялся разработкой яркого и в то же время точного языка, позволяющего говорить о молекулах, черпая аналогии из искусства и других областей творческой деятельности человека, в которых находят применение принципы симметрии и теория групп». Добавим, что подобного рода языки были бы чрезвычайно полезны и во многих иных естественно-научных и общественных дисциплинах, имеющих дело с объектами, либо принципиально невидимыми, либо не обозримыми целиком из-за своей множественности.

Но чтобы вдохновляться и руководствоваться симметрией при создании моделей и анализе изучаемых фактов, нужно прежде всего уметь находить ее в бесконечной пестроте эмпирической действительности. Лучший же способ приобрести такое умение — вплотную познакомиться с теорией симметрии и в математике, и с ее практикой в искусстве. Те, кто привык считать первую чем-то сухим и чуждым всякой эстетики, а второе — максимально далеким и даже враждебным каким-либо математическим зависимостям, будут немало удивлены не только их кровным родством, но и тем, насколько тесно абстрактные умозрения переплетаются в данном случае с конкретными художественными экспериментами.

По словам Марджори Сенешаль, «теория узоров (паттернов) берет начало в математике большинства народов древнего мира. Изящество форм и линий, которым отличается искусство орнамента древних, наводит на мысль о том, что художники того времени были осведомлены об абстрактной проблеме покрытия плоскости конгруэнтными и различными многоугольниками».

Как заметил в своей книге «Симметрия» Герман Вейль, «образцы всех семнадцати групп симметрии обнаружены среди декоративных узоров древности, в особенности среди египетских орнаментов… Искусство содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики…» Опять какое- то неуловимое парадоксальное переворачивание причин и следствий! Как же все-таки обстоит дело: опережают ли художники ученых в открытии (изобретении) законов симметрии или, наоборот, опираются в своем творчестве на знания, добытые наукой?

Подобная постановка вопроса здесь, однако, неуместна. Перед нами — встречное взаимодействие, непрестанное взаимоотражение, ценностная симметрия двух равно активных полюсов культуры. Одно немыслимо без другого. Например, разработка равномерно темперированного звукоряда, составившего, начиная с XVIII века, тональную базу всей «ученой» европейской музыки, мотивировалась стремлением внести определенного рода симметрию в ее гармонические структуры и осуществлялась при участии видных математиков и физиков. Но не менее показательно то, что великий астроном Иоганн Кеплер поставил целью своей жизни создание «гармонии мира» — математической модели движения небесных тел, связывающей опытные данные системой числовых отношений, принятых в музыкальной эстетике его времени!

Автор: Л. Переверзев.