Таємниця геометрії

Навіть серед людей, знайомих з вищою математикою, широко поширена думка, що звичайна евклідова геометрія тривимірного простору, предмет повністю вивчений і давно завершений. Насправді ж справа йде далеко не так. У шкільній стереометрії і в аналітичній геометрії розглядаються лише найпростіші фігури: площини, багатогранники, круглі тіла, гіперболоїди та інші геометричні об’єкти, що мають просту форму. Тим часом різні прикладні науки змушують геометрів вивчати все більш і більш складні просторові фігури.

Систематичне вивчення властивостей всіляких викривлених поверхонь ведеться з середини XVIII століття. Однак загальна теорія таких поверхонь в тривимірному евклідовому просторі і зараз ще далека від завершення. Щороку в різних країнах виходять десятки робіт, присвячених цьому складному питанню. В одних пропонуються нові ідеї, в інших – «відламується» шматочок того чи іншого завдання. Але іноді світ облітає сенсаційна звістка: перед людським розумом здалася складна проблема, розкрита ще одна таємниця такого «знайомого» і звичного нам тривимірного простору.

Лінія, що лежить на поверхні і з’єднує дві точки цієї поверхні по найкоротшому шляху, називається геодезичною. При геометричних побудовах на поверхні вона відіграє таку ж роль, як пряма на площині. (По геодезичній лягає нитка, туго натягнута на тверду поверхню).

Якщо три точки поверхні попарно з’єднати геодезичними лініями, утворюється трикутник. На відміну від трикутника на площині сума кутів трикутника на поверхні далеко не завжди дорівнює 180°. Вона залежить від форми поверхні і вибору трикутника. Різниця (зі знаком!) між сумою кутів і 130° називається надлишком трикутника. Надлишок може бути позитивним, негативним і рівним нулю (у плоского трикутника).

Візьмемо на поверхні якусь точку А. Намалюємо різні маленькі трикутники з вершиною в точці А, складені з геодезичних ліній. Якщо виміряти кути і площі цих трикутників, то виявиться, що надлишки трикутників приблизно пропорційні їх площам, і чим менше трикутник, тим краще дотримується пропорційність. Коефіцієнт цієї пропорційності (точніше, межа відносини надлишку трикутника до його площі, коли трикутник стягується до точки А) називається гаусом кривизної поверхні в даній точці. Ця кривизна названа так на честь знаменитого німецького математика К. Ф. Гаусса, який на початку 19-го століття вперше досліджував її в зв’язку зі своїми роботами по складанню географічних карт.

Площина, конічна і циліндрична поверхні мають в кожній точці нульову кривизну. Отримати з аркуша паперу поверхню нульової кривизни, наприклад, конічну або циліндричну, просто. Поверхні ж різної гаусової кривизни можна перевести одна в одну «згинанням» на зразок того, як з аркуша паперу робиться без розривів і складок кульок-конус. Якщо ми спробуємо накласти аркуш паперу на сферу, неминуче вийдуть складки. (Ось чому зображення земної кулі на географічній карті завжди спотворене!). Якщо ж лист паперу прикласти до сідла, виникнуть розриви.

Негативну кривизну мають багато поверхонь тривимірного простору: псевдосфера, гіперболічний параболоїд, однопорожнинний гіперболоїд та інші. Псевдосфера цікава тим, що її кривизна в усіх точках однакова. Цим вона схожа на сферу (звідси і назва). Однак псевдосфера істотно відрізняється від сфери. Адже сфера не має ні вершин, ні ребер, як кажуть, сфера всюди гладка. А псевдосфера має ребро. Вона як би складається з двох половинок, склеєних між собою.

Але, може бути, так невдало влаштована лише псевдосфера? Чи не можна відшукати якусь іншу поверхню постійної негативної кривизни, яка була б такою ж гладкою, як сфера? Це питання привернуло особливу увагу математиків після однієї роботи Е. Бельтрамі.

У 1868 році італійський геометр Бельтрамі встановив, що поверхні постійної негативної кривизни володіють чудовою властивістю: фігури, намальовані на таких поверхнях, підпадають під дію законів планіметрії Лобачевского з тією лише різницею, що роль прямих виконують геодезичні. Видатне відкриття Бельтрамі було першою інтерпретацією геометрії Лобачевського, першим її реальним тлумаченням, що остаточно розвіяли сумніви в існуванні неевклідової геометрії. Так був встановлений безпосередній і тісний зв’язок між «уявною геометрією» російського математика і цілком реальними об’єктами нашого світу.

Але тлумачення геометрії Лобачевського, дане Бельтрамі, не було в деякому сенсі вичерпним. Справа в тому, що, наприклад, псевдосфера служить моделлю не всій площині Лобачевського, а лише невеликій її частині. На псевдосфері не можна провести нескінченну «пряму» – геодезичну, необмежено продовжену в обидві сторони: або один її кінець, або навіть обидва обов’язково упруться в ребро псевдосфери. Тому на псевдосфері неможливо простежити за таким чудовим явищем геометрії Лобачевського, як наявність нескінченної кількості різних прямих, що проходять через одну і ту ж точку і паралельних даній прямій. Точно так само було і з усіма іншими відомими тоді поверхнями постійної негативної кривизни: на кожній з них спостерігалося так зване порушення регулярності – або ребро, як у псевдосфери, або край, за який не можна було продовжити поверхню.

Для того, щоб вказати поверхню, на якій відтворювалася б геометрія всієї площини Лобачевського, математики повинні були знайти поверхню постійної негативної кривизни без порушень регулярності. Питання, чи існує в нашому просторі поверхня, на якій діють закони планіметрії всієї площини Лобачевського, або, як кажуть геометри, чи можна площину Лобачевського «занурити» в простір Евкліда, стояло перед математиками довгі роки. Відповідь на нього дав лише в 1901 році видатний німецький математик Гільберт. Йому вдалося встановити, що будь-яка поверхня постійної негативної кривизни обов’язково має порушення регулярності. Виявилося, що «дефект» псевдосфери не виняток, а характерна властивість розглянутого класу поверхонь. Таким чином, Гільберт показав, що площину Лобачевського можна «занурити» в простір Евкліда.

Тоді виникло запитання. Адже в просторі Лобачевського, крім площини, існують і інші поверхні. Чи будь-яку з цих поверхонь можна «занурити» в простір Евкліда? Ось цим-то завданням і зацікавився в середині тридцятих років молодий геометр Н. В. Єфімов. Математично воно формулюється так: чи існують в нашому тривимірному просторі гладкі поверхні без країв і зламів зі змінною негативною кривизною, що ніде не наближаються до нуля?

Проблема виявилася дуже важкою. Адже геометрична теорія поверхонь негативної кривизни, незважаючи на її велику практичну важливість, розроблена ще слабо. Невирішеним залишається навіть таке питання, як опис можливих форм цих поверхонь: геометри досі продовжують виявляти все нові і нові їх види. Труднощі не злякали Н. В. Єфімова. Він з великою енергією взявся за вирішення проблеми.

Перше промацування не дало результату, не вдалося навіть знайти підходу до вирішення. Прийом, використаний Гільбертом, не годився, інші відомі методи виявилися безсилими. Потрібно було шукати нові шляхи. Довелося відмовитися від лобової атаки і перейти до тривалої, терплячої облоги.

Пошуки і роздуми, надії і розчарування, невдачі і часткові успіхи зайняли майже тридцять років. Вчений початківець перетворився в маститого професора зі світовим ім’ям, а мрія молодості, заповітна проблема не піддавалася. Знову і знову звертався Микола Володимирович до задачі, отримував нові цікаві та важливі геометричні результати, але головна мета залишалася не досягнутою.

Поступово накопичувався досвід, намічалися можливі шляхи підходу до вирішення, росла впевненість: завдання буде «добите»! І ось успіх! Напружена дослідницька праця, сотні сторінок складних математичних викладок не пропали даром, був отриманий довгоочікуваний результат: злами або краї у досліджуваних поверхонь неминучі. Значить, з простору Лобачевського в простір Евкліда не можна перенести багато видів кривих поверхонь. Проблема Бельтрамі – Гільберта, що виникла майже 100 років тому, була вирішена Н. В. Єфімовим в більш загальному вигляді.

Робота Н. В. Єфімова розкрила ще одну таємницю поверхонь негативної кривизни, поверхонь, що оточують нас на кожному кроці. Лопаті гвинтів вертольотів, лопатки турбін, деякі деталі верстатів є поверхні негативної кривизни. Тому глибоке вивчення таких поверхонь представляє не тільки теоретичний інтерес. Розвиток цієї теорії корисний і для вивчення об’єктів геометрії Лобачевського, знаходить застосування при дослідженнях мікросвіту і космосу.

Автори: Е. Розендорн і Н. Розов.