Математика современного знания

Едва ли кто станет особенно спорить, что в последние годы такие науки, как, например, физика элементарных частиц, развиваются не столь уж стремительно. В чем причины? Или хотя бы одна из причин? Одна из них налицо: это замедление связано с тем, что система среднего и особенно высшего образования вовсе не учит молодых естествоиспытателей той математике, которая им сейчас совершенно необходима. Действующие программы составлены так, что молодые «подающие надежды» просто не знают той математики, с помощью которой только и можно надеяться решить наиболее трудные проблемы современной науки.

Вспомните, что для формулировки любой математической теории в физике каждый раз нужна была своя, особенная математика, причем развитая совсем незадолго до создания этой физической теории. Ньютону, чтобы построить здание классической механики, пришлось создавать дифференциальное и интегральное исчисление. Полная система уравнений, описывающих поведение электромагнитного поля, была написана Максвеллом только несколько десятилетий после того, как появилась более или менее удовлетворительная теория уравнений в частных производных и векторный анализ. Не более двух десятилетий отделяет создание тензорного исчисления от формулировки с его помощью специальной и общей теории относительности.

И здесь дело не в чьей-то злой воле, умысле или нерадении. Перед нами — совершенно реальное, острейшее противоречие в развитии современной науки. И тот, кто решит его более или менее удовлетворительным образом, имеет наибольшие шансы построить общую теорию элементарных частиц. Я рискую даже высказать некий тезис о той математике, с помощью которой можно построить всякую фундаментальную теорию в физической науке. А именно: это всегда такая математика, которую творцы фундаментальных физических теорий почти не знают. А с помощью той математики, которую учат в школах и университетах, можно решать в науке только более простые задачи, связанные с применением уже созданной фундаментальной теории. Конечно, это утверждение не может быть строго обосновано, потому что оно не выводится ни из какой системы аксиом. Оно получено в результате простых размышлений о жизни, подобно известным законам Паркинсона или правилам жизни незабвенного героя «Золотого теленка».

Какие они, типичные объекты современной науки

Давайте очень поверхностно, очень неглубоко, одним глазом взглянем на те объекты современной науки, для познания которых совершенно необходима современная математика. Какие они? В чем их современность? Чем отличаются они от обычных столов, камней, электронов, протонов, игуанодонов и даже квартета Битлс? Очень хороший пример того, какого рода объекты находятся в центре внимания современного естествознания, и математики, дает так называемый «континуум Вада». Он очень красив, этот континуум, конечно, по-своему, в современном понимании этого слова. Итак, пусть на острове в океане серой воды имеется два источника — голубой и зеленой воды.

Объявляем следующую программу работ: в первый день сначала прорываем из океана и из каждого источника такую систему каналов, чтобы каждая точка земной «тверди» на острове отстояла не более чем на километр от голубой, зеленой и серой — океанской — воды. В следующие полдня система каналов усложняется так, чтобы эти расстояния сократились до полукилометра — и так далее.

Какой чудесный объект получили мы при переходе к пределу в конце второго дня работ! Сколь угодно малая окрестность любой точки нашего острова всегда содержит и черную «твердь» земную и голубую, и зеленую и серую воду одновременно. Наши художники пока что способны нарисовать наш остров только «по состоянию на вечер второго дня работ». Как изобразить остров за пять минут до двенадцати и особенно за пять микросекунд до окончания работ, они пока что еще не решили — из-за отсутствия технологии окраски элементарных частиц.

Но не думайте, что подобные патологически устроенные объекты могут интересовать только «чистых» математиков. Увы, увы, — в центре внимания современной физической
науки лежит, так сказать, «старший брат» нашего континуума Вада — физический вакуум сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий. Он «устроен» еще более хитро: если мы будем брать его все более и более уменьшающиеся объемы, то где-то после прохождения рубежа — кубика с длиной граней в 1 ферми (10—13 см), мы с ужасом обнаружим, что то, что казалось нам абсолютной пустотой, чистой протяженностью — без малейших следов какого-либо бытия, оказывается, ведет себя как настоящий океан разбушевавшихся стихий.

Без серьезной математики только музыка способна, вероятно, передать ощущения ученого, когда он начинает изучать физический вакуум современной теории элементарных частиц. Вспомните «Пиковую даму», когда к Герману приходит призрак графини. По необычным, трепетным, настороженным звучаниям вы чувствуете присутствие чего-то совершенно нового, неведомого доселе. Это подобно призракам, подобно миражам появляются пары виртуальных частиц. Сначала — самых легких электронов и позитронов. В полном вакууме, в абсолютной пустоте они возникают буквально из «ничего» — как укор совести, как напоминание о том, как много тайн нам предстоит еще выпытать у природы…

Неметрическа математика

Поставим очень простой вопрос относительно нашего континуума Вада: какую часть острова занимает, скажем, голубая вода? Или зеленая? Или серая? Или «черная» твердь, наконец! Совершенно ясно, что все классические способы количественной математики — все ее веками разрабатывавшиеся методы измерения площадей — в данном случае абсолютно неприменимы. Они отказывают — перед нами существенно «неколичественный» объект. Как же быть? Что делать?

Идею подсказывает теорема, высказанная сначала в виде гипотезы И. М. Гельфандом и доказанная впоследствии сразу несколькими его учениками. Она утверждает, что ввести меру в некоторых экстравагантных математических пространствах можно только используя случайный процесс. Итак, решение готово: завяжем себе глаза и бросим совершенно случайно 100 иголок в наш континуум.

Не правда ли, очень здорово: чтобы познать некие совершенно новые и необычные объекты, надо задать совершенно случайный процесс. Упаси вас Боже бросать иголки по какой-то системе — вот тогда получится абсолютная чепуха. Только если иголки будут падать совершенно случайно, и из 100, скажем, 30 вонзятся в «точки» голубой воды, мы сможем сказать, что с определенной степенью вероятности (которая зависит от общего числа иголок) голубая вода занимает 30 % площади, на которую падали иголки.

Теорема Гельфанда — Сазонова — Минлоса — Митягина показывает, почему в любые теории микроявлений обязательно входит вероятность: мы сталкиваемся там с существенно «неколичественными» объектами. А здесь количественный подход порой бессилен. Измерьте с любой степенью точности любые количественные характеристики живого существа: его длину, температуру, биоэлектрические потенциалы, химический состав тканей и т. д.— и все равно почти ничего не получите для объяснения свойств живого.

Вам придется провести много различных измерений самых разных характеристик живого объекта и искать взаимосвязь между ними — с помощью теории вероятностей. А это — один из важнейших разделов математики неметрических, неколичественных объектов. В современной математике активно развиваются и другие методы исследования этих довольно странных и необычных структур: теория алгоритмов, теория автоматов, теория игр, теория графов и т. д.

Все это подтверждает справедливость слов крупнейшего математика современности Курта Геделя. Смысл их сводится к тому, что если до сих пор в основном развивалась количественная математика, то это до известной степени случайно и объясняется только тем, что доныне основные импульсы развитию «царицы наук» давали такие «количественные» науки, как механика, электродинамика и т. д. Теперь же положение существенно меняется, потому что математика значительно расширила фронт своего проникновения в другие науки. К примеру, в биологию.

Только не пугайтесь, пожалуйста, и не думайте, что неметрическая математика — это нечто совсем уже сложное, заумное и, во всяком случае, недоступное для понимания простых смертных, не знающих высшей математики. Напротив, неметрические главы математики вполне доступны для изучения уже в средней школе. Некоторые из них значительно проще, например, обычной прямолинейной тригонометрии.

Что же касается таких серьезных «неколичественных» наук, как топология или теория групп, то в принципе для их изучения не нужно знать даже таблицы умножения. Прямо берите любую из книг трактата Н. Бурбаки «Элементы математики» и начинайте штудировать. Но это, конечно, ничего хорошего не даст: они требуют наличия такой высокой культуры математического мышления, какая есть не у всякого математика, даже окончившего мехмат университета. Каковы пути преодоления этой трудности — об этом я попытаюсь сказать в другой статье.

Автор: И. Ачкурин, кандидат философских наук.