Минимальное окно в бесконечность: математика, зрение и работа мозга

Что проще — точка или отрезок? Если считать, что отрезок состоит из точек, то проще, пожалуй, точка. Как часть, входящая в целое. Однако состоит ли отрезок из точек, об этом еще речь впереди. А вот изучение механизмов зрения убедительно показало, что когда сознание конструирует из элементов восприятия геометрические образы, отрезок является более простым объектом, чем точка.

Кажется бесспорным, что такие объекты математики, как числа, уравнения, функции, мы видим «очами разума» и реальное зрение здесь ни при чем. Да и в современной физике наглядные представления вроде бы отступают перед интеллектуальными построениями, перед идеализированными объектами. Но уже самый кустарный, проводящийся на дилетантском, с точки зрения современной психологии, уровне опыт самонаблюдения позволяет и физику и математику заметить нечто прямо противоположное.

А. Эйнштейн, отвечая Ш. Адамару на вопрос о роли слов и первичных элементов в мышлении, пишет: «Элементы, о которых я только что говорил, у меня бывают обычно визуального или изредка двигательного типа. Слова или другие условные знаки приходится подыскивать (с трудом) только во вторичной стадии, когда эта игра ассоциаций дала некоторый результат и может быть при желании воспроизведена». Таково свидетельство физика.

Но дело, наконец, не в отдельных свидетельствах отдельных выдающихся ученых. Более близкие к нашим дням специальные психологические исследования показали, что визуальные образы сопровождают наши самые абстрактные умственные конструкции. О влиянии чувственного восприятия, в частности зрительного механизма, на деятельность интеллекта было известно уже давно, но до возникновения экспериментальной психологии эта проблема обсуждалась лишь на общефилософском уровне. А экспериментальные методы вполне ясно показали, что результат отражения зависит не только от отображаемого объекта, но и от природы отображающей системы. В частном случае — от механизмов работы головного мозга.

На протяжении многих столетий математики считали, что они незамутненным никакими чувствами «умственным взором» проникают в вечные и неизменные интеллектуальные истины (так называемая платонистская установка).

Но безупречным математическим истинам не надо даже было совершать грехопадения, чтобы оказаться сродни переменчивой и земной человеческой натуре. Ибо их невинность с самого начала была лишь мнимой. Само их появление в науке именно в таком, а не в ином виде, многим, оказывается, было обязано органам чувств Гомо сапиенса. И основному, важнейшему среди них — зрительному механизму. Он-то во многом и определил основные концепции и вообще лицо классической, или теоретико-множественной, математики.

Как мы видим? Свет попадает на сетчатку глаза, а далее, переходя с одного нейронного уровня на другой, сигнал попадает в глубинные слои мозга, где и возникает осмысленный образ увиденного.

Долгое время считалось, что человек видит «поточечно», то есть зрительный образ формируется так же, как под действием электроннолучевой трубки изображение на экране телевизора (мозаика светлых и темных точек, образующих различные конфигурации). На самом же деле поточечное изображение существует только в первой инстанции, то есть на сетчатке. Но далее, при переходе с одного нейронного уровня на другой, происходит укрупнение информации, собирание ее в блоки. Причем не при помощи сознания (до него сигнал еще не дошел), а чисто физиологически. Грубо говоря, так уж устроен мозг. При прохождении сигнала от сетчатки вглубь мозга, за все более обширные участки изображения отвечает все меньшее количество нейронов. Но вот сигнал достиг последнего уровня, по положению на котором сознание и создает зрительный образ. Интереснейший факт экспериментальной психологии заключается в том, что изображение на этом, последнем уровне складывается не из точек, а из целостных конфигураций.

Ученые, исследующие удивительные свойства зрительного восприятия человека, прибегают к самым разнообразным и хитроумным по своей идее опытам. В одном из них, например, с помощью специальной оптической аппаратуры изображение на сетчатке фиксировалось так, чтобы никакие движения глаза не могли его сместить (изображение в этом случае двигалось вместе с глазом). Уже через несколько секунд изображение исчезало вследствие утомления нейронов. Но при исчезновении изображения выпадали сначала одни, потом другие элементы, причем выпадающие элементы всегда являлись с геометрической или смысловой точки зрения целостными — это могли быть отрезки прямых, круги и т. д. Из факта, что эти конфигурации исчезают или появляются сразу, целиком, по закону «все или ничего», естественно заключить, что их представительство в сознании обеспечивается небольшими нейронными ансамблями или одиночными нейронами.

Итак, мозг создает образ действительности, идя не от точек к фигурам, а от фигур к точкам. Причем «крупноблочные» элементы настолько разнообразны и так хорошо подобраны, что их комбинации могут воссоздать любой набор точек. Конечно, точек физических, то есть точек с размерами, пятнышек.

Казалось бы, такое свойство нашего восприятия должно выгодно отличать нас от «братьев наших меньших». В действительности же дело обстоит как раз наоборот. Отличия тут нет. Оказывается, эволюция включила крупноблочность на очень раннем этапе своего земного эксперимента. Для примитивных животных в смысле выживания существенно было иметь не точечную картину мира, а быстро получать сигналы о некоторых биологически значимых характеристиках области, попадающей в поле зрения: о движении предметов (неважно каких), о наличии небольших черных пятен («жуков»), о появлении теней и т. д. Но скорость доставления таких сигналов будет минимальной, если выделение указанных характеристик производится автоматически по стандартной программе. Усложняясь и развиваясь, животные не могли кардинально перестроить принцип передачи зрительных образов в глубины мозга, и усовершенствование должно было идти по линии усложнения обобщений…

Для животных, конечно, никаких проблем в связи со всем этим вообще не возникает. Цель животного — схватить другое животное, годящееся ему в пищу. Схватил — и вся недолга. И можно считать, что твоя модель внешнего мира получила еще одно экспериментальное подтверждение.

У Гомо сапиенса, естественно, подход иной. Все основные результаты планиметрии Евклида были, например, известны за столетия до него во многих странах Востока. Были известны и успешно применялись на практике. И площади треугольников и трапеций умели вычислять, и строить различные градусы и дуги и многое другое. А все-таки история науки геометрии всегда отсчитывалась от появления «Начал» Евклида.

Практического умения измерить площадь для математики было явно недостаточно. Более того, это умение оказывалось здесь просто ни при чем. С возникновения науки речь уже пошла не о буквальном измерении конкретного многоугольника, а об установлении правил для измерения всех многоугольников некоторого вида. Форма такого правила — формула. Доказательство, что формула верна всегда и везде, независимо от времени и пространства, от всех мыслимых и немыслимых сопутствующих обстоятельств, что она вытекает логически просто из определения фигуры, — теорема. Теорема, следующая из аксиом,— это уже нечто изъятое из нашего переменчивого, бренного мира. Вневременная, ни от кого и ни от чего уже не зависящая истина. Истина в последней инстанции.

Выработкой таких вот истин и занимался на протяжении более чем двух тысяч лет математический цех всемирной науки. Подавленные безупречной строгостью дедуктивных умозаключений, даже самые отъявленные скептики не подвергали сомнению торжественный статус математических утверждений. Все знали, что в ответ на петушащееся «а докажи», математик в отличие от представителей некоторых других наук, не говоря худого слова, тут же требуемое доказательство и предъявил бы. Правда, основные понятия определялись иногда очень туманно (а то и с элементами мистицизма, что и вовсе уж удивительно для самой точной из наук). Самый яркий пример здесь — понятие бесконечно малой величины, из которого развивалось грандиозное здание дифференциального и интегрального исчислений.

Достаточно вспомнить, что математики в яростных спорах и попытках «окончательно» определить, что же такое бесконечно малая величина, пользовались понятиями и образами, казалось, сошедшими со страниц сочинений мистиков.

Математика и мистика — две вещи несовместимые. Не правда ли? Однако ж вот поди… Бесконечно малая получила корректное определение только во второй половине XIX века. Математический анализ, уже на протяжении столетий служивший практической основой всего точного естествознания, приобрел, казалось бы, и безупречную логическую выправку. Ощущение достигнутой гавани усиливала и только что созданная теория бесконечных множеств Г. Кантора, которая с единообразных позиций рассматривала все геометрические линии, фигуры и тела как множество точек.

Но, как в хорошем детективе, при полной безоблачности и даже отсутствии предупредительных молний, грянул гром. На сцене появились логические парадоксы. На языке теории множеств можно было, оказывается, определять объекты, логически противоречивые сами в себе, а потому вроде бы и не существующие. (Например, множество, которое являлось собственным элементом тогда и только тогда, когда… не являлось им.)

Назовем свойство, которое можно применить само к себе, самоприменимым. Например, свойство «быть абстрактным» само является абстрактным и потому относится к самоприменимым. А, скажем, свойство «быть зеленым» само зеленым, да и никаким вообще цветом не обладает. Такие свойства назовем несамоприменимыми.

А теперь попробуем ответить на один простенький вопрос: к какой из этих двух категорий относится свойство «быть несамоприменимым»? Легко видеть, что если принять его за несамоприменимое, то оно оказывается… самоприменимым. Если же включить его в самоприменимые, то тем самым оно будет… несамоприменимым. Поистине заколдованный, а точнее, логический круг.

Супруга Цезаря — вне подозрений! А тут… какие уж тут подозрения, когда вопиющие логические противоречия находят у самой «царицы наук».

«Наивная» теория множеств была безнадежно скомпрометирована. Она оказалась слишком богатым языком. «Слишком», потому что, чем богаче язык, тем больше на нем можно выразить. А к чему в науке язык, настолько свободный, настолько широкий, что в его терминах можно сформулировать явные противоречия?

Надо было в срочном порядке построить язык победнее, который годился бы для всех истинных теорем и одновременно захлопывал бы дверь перед парадоксами. Эта задача была через несколько десятков лет решена. Были созданы даже не один, а несколько языков, несколько систем, гарантированных от противоречий (самая известная из них — аксиоматическая система теории множеств Цермело — Френкеля).

Но сразу же выявились два «но». Первое: эти языки оказались сложными и, главное, совершенно непригодными для конкретной математической работы. Было очевидно, что переформулировать, переводить исторически и практически ценные фрагменты математики, например анализ, на язык системы Цермело — Френкеля никто никогда не будет.

И второе: после аксиоматического уточнения понятия множества подозрительность по отношению к нему у математиков не рассеялась. Ведь наряду с теорией множеств уточнению, более строгой формулировке подвергались и многие другие понятия и математические объекты. Много этапов прошло, например, понятие линии, пока не обрело наконец вполне строгой и точной своей формулировки (мы не приводим ее, так как она доступна только математику, знакомому со специальными разделами топологии). И что же? Оказалось, что согласно последнему строгому и точному определению можно, построить линию, сплошь заполняющую внутренность квадрата. Линия, эквивалентная куску плоскости! Мягко говоря, что-то это не очень близко к интуитивному образу линии. Зато лемниската Бернулли (красивое научное имя для обычной восьмерки) согласно этому «строгому» определению в линии не попадает. Как говорится, куда пойдешь, кому скажешь…

Или понятие непрерывности. График непрерывной функции представляется нам плавной кривой, без разрывов и резких изгибов. Однако же Вейерштрасс построил функцию, которая в полном соответствии со строгим определением была функцией непрерывной и одновременно не имеющей ни одного плавного участка. Она буквально в каждой точке резко меняла свое направление. Такое и вообще-то представить трудно (невозможно), а тут еще, словно в насмешку, речь идет о функции непрерывной.

Вот и выяснилось, что существуют две «линии»: одна общеязыковая (интуитивный образ которой возникает у нас при употреблении слова «линия») и вторая — математическая. И точно так же существуют две непрерывности. Где-то первые кривая и непрерывность схожи со вторыми, а где-то и… ничего похожего. Однако в самой математике уточненные понятия работают безукоризненно. Поэтому-то ученые и остановились именно на таких формулировках.

Однако это бросает уже тень на всю систему образования математических объектов. Вставал вопрос, какие определения законны, а какие являются всего лишь праздной игрой ума и потому в науку допущены быть не могут. Таким образом, речь должна была уже пойти (как реально и случилось) не об определении какого-то конкретного математического понятия, а об определении самого понятия «определение».

Прежде всего, под подозрение подпала основа старой наивной теории множеств, абстракция актуальной бесконечности. Актуальное бесконечное множество — такое, которое считается представленным всеми своими элементами одновременно. Таково, например, множество целых или множество действительных чисел, рассматриваемое как данное целиком, как завершенный ансамбль, множество, с которым можно манипулировать, как с целостным объектом.

Представим себе натуральный ряд (то есть целые положительные числа 1, 2, 3 и т. д.), как реку, которая начинается с единицы, причем дельта реки находится бесконечно далеко (ряд-то бесконечный!) Положим, что мы, находясь у истока этой реки чисел, стали подниматься вверх на воздушном шаре. Понятно, чем выше мы поднимаемся, тем дальше открывается горизонт. Поднялись, скажем, на километр, река чисел просматривается до тысячи. Продолжаем подъем, вот уже показался миллион, затем миллиард… Однако ясно, что так как река бесконечна, то на какую бы высоту мы ни поднялись, дельты нам так и не увидеть.

И все же наука такой высоты способна достигнуть. Она-то и называется «абстракция актуальной бесконечности». Математики, которые признают эту абстракцию, обращаются с бесконечным множеством как с законченным, целиком обозримым объектом.

Подозрения быстро усиливались, и скоро целая группа математиков отказалась признавать актуальную бесконечность законным способом образования математических понятий. И надо сказать, что основной виновник наступившего «смутного времени» был угадан совершенно правильно. Ведь «за спиной» и линии, целиком заполняющей внутренность квадрата, и непрерывной функции, состоящей из сплошных углов, и многих других невероятных, фантастических, а то и просто противоречивых объектов стояла именно актуальная бесконечность. Без ее участия они просто не смогли бы появиться на свет.

Но какую кандидатуру выдвинуть взамен? Как вернуть математическим результатам статус непререкаемости, непререкаемости для всех и всегда? Какие мысленные операции можно считать абсолютно, стопроцентно надежными? По этому поводу единодушия в стане «критиков» не было.

В тридцатые годы прошлого ХХ века начали активную деятельность математики так называемого конструктивного направления. Основным понятием классической математики является множество, основным понятием математики конструктивной — алгорифм (он же — алгоритм).

Алгорифм — это четкая инструкция, программа действий, которая, будучи применена к некоторым исходным объектам (например, к числам) через конечное число шагов должна привести к некоторому результату. Все компьютерные программы — это особым образом записанные алгорифмы. Правило умножения в столбик — тоже алгорифм. Большинство формул для вычисления — алгорифмы.

С точки зрения конструктивиста, в математике объекты существуют постольку, поскольку они могут быть построены. Строятся же новые объекты из уже имеющихся, исходных, с помощью различных алгорифмов, за конечное, хотя, быть может, и очень большое число элементарных шагов.

Представим себе, что наша река натуральных чисел движется, отсчитывая элементарные шаги, элементарные операции, которые требуются, чтобы некоторый алгорифм построил новый объект из исходных. Так вот, при таком сравнении можно сказать, что конструктивисты отказываются рассматривать объекты, для построения которых нужно достичь дельты бесконечно длинной реки. Они согласны, что иногда приходится проделать длинный, очень длинный путь. Но оставить позади бесконечность считается уже нереальным.

Тем самым в конструктивную математику сразу преграждается доступ всем парадоксальным объектам, за спиной которых стоит актуальная бесконечность. Конечно, такая математика беднее, ограниченнее по составу, чем классическая. Зато ее объекты куда более реальны, чем многие чудеса в решете классиков. Или объект уже построен, и на него можно просто указать, или же предъявляется алгорифм, относительно которого доказано, что, будучи применен к определенному исходному слову, он за конечное число шагов выдает требуемый объект как результат своей работы. Конструктивист любит повторять, что он «беден, но честен».

Конструктивная математика явно надежнее классической. Но мнение, что она является теорией более простой, более, что ли, механической, примитивной, никак не соответствует действительности. Конструктивные математические объекты, например конструктивные действия числа,— это, наоборот, существа тонкие, сложные, зачастую с весьма загадочными, неуловимыми свойствами. Равенство двух чисел, например, удается в этой математике установить далеко не всегда.

Каковы же инструкции, те элементарные шаги, которые составляют содержание работы алгорифма? Ведь для того, чтобы конструктивная математика не потеряла свою основную привлекательную сторону — надежность, эти шаги должны быть в высшей степени простыми, недвусмысленными, словом, должны сводиться к каким-то понятным каждому операциям. И они на самом деле являются таковыми. Элементарные шаги и в самом деле предельно элементарны. Это может быть «операция перестановки» (если в исходном объекте — слове встретилось сочетание АВ, надо переставить буквы, то есть получить сочетание ВА), «операция вписывания буквы» (АВ — АСВ), «стирание буквы» (АВВА — АВА), операция сдвига вправо или влево, то есть рассмотрения соседнего с данным символа. Анализ этих типовых операций, к которым сводится работа любого алгорифма, приводит к следующему вопросу: какие механизмы, какие способности человеческого мозга обеспечивают реализацию алгорифмических процедур?

Анализ набора атомарных операций показывает, что прежде всего необходимы: способность различения нескольких букв (кирпичиков, из которых состоит исходный объект, слово), способность запоминания на сколь угодно длительное время (по крайней мере одной буквы), умение последовательно переходить от данной буквы к соседней, совершая переход иногда влево, а иногда вправо. Необходимо еще умение вставлять или стирать определенные буквы.

Назовем те способности, тот интеллектуальный и психологический механизм, который позволяет нам реализовать алгорифмы, А-устройством. Тогда у философов, психологов и математиков возникает закономерный вопрос: а какова структура А-устройства и, самое главное, какой может быть его минимальная сложность?

В книге В. Тростникова «Конструктивные процессы в математике» приводится математически строгое описание схемы такого устройства, способного реализовать любой алгорифм. Речь идет по сути дела о математической модели того фрагмента психики человека, который ответствен за выполнение алгорифмических операций. А этот фрагмент — обязательный базис, на основе которого только и могут развиваться высшие способности — творческое мышление, фантазия, воображение, интуиция.

Мы не воспроизводим описания этой модели из-за его громоздкости. Сложность А-устройства, подсчитанная как количество возможных ответных его реакций, равна приблизительно полутора тысячам. В. Тростников пишет: «В некотором роде это количество «коммутаций», соединений. По аналогичной шкале сложность выключателя для люстры составляет несколько единиц. Итак, весьма приблизительно можно сказать, что сложность психического механизма, обеспечивающего человеку возможность работать с любым алгорифмом Маркова, всего в несколько сотен раз превосходит сложность выключателя. Конечно, для такой богатой нейронами вещи, как человеческий мозг, это совсем небольшая сложность… Тем не менее …эта сравнительно невысокая сложность позволяет делать в некотором смысле абсолютно все».

Абсолютно все… Не правда ли, за этими словами чудится чуть ли не призрак философского камня. О чем же реально идет здесь речь?

Существует такое понятие: время работы алгорифма. Однако это не привычное нам, физическое время. И измеряется оно не в секундах, минутах или годах, а в количестве шагов, элементарных операций, которые алгорифм уже произвел с начала работы. Возьмем, например, знакомое всем правило (алгорифм) умножения чисел в столбик. Мы начинаем с умножения крайних правых цифр перемножаемых чисел и записываем под чертой правую цифру результата, а остальное пока запоминаем. Это и есть начало работы алгорифма, и время его работы после первой записи — 1 шаг. Даже по мере выполнения следующих шагов растет и время работы алгорифма: 2 шага, 3 шага, и так далее, до получения окончательного результата.

Сами алгорифмы могут быть простыми и сложными. То есть, другими словами, короткими и длинными, содержать мало или много инструкций, правил. Точно так же простыми или сложными могут быть и исходные объекты, к которым алгорифмы должны применяться.

Рассмотрим теперь пару, состоящую из алгорифма и исходного объекта. Что происходит с ней с течением алгорифмического времени, то есть в процессе переработки алгорифмом исходного объекта?

Если пара (алгорифм — исходное слово) слишком проста, то с течением времени ее сложность не возрастает, а, наоборот, уменьшается. Другими словами, простые алгорифмы, работая над простыми словами, не могут увеличивать сложность пары, а только уменьшают ее. Если же пара достаточно сложна, то положение коренным образом меняется: в процессе переработки конфигурация все более усложняется. В этом случае происходит спонтанное приращение информации, что, свидетельствует в пользу философского тезиса о созидательном потенциале времени.

Где же лежит порог, разделяющий пары на самовырождающиеся и самоусложняющиеся? Определяемая в той же шкале, что и при вычислении сложности А-устройства, сложность этого порога составляет около тысячи единиц. Другими словами, А-устройство (сложность которого, как мы помним, равна полутора тысячам) находится чуть ли не сразу за этим порогом. Именно поэтому и можно сказать, что А-устройство «показывает нам примерный минимальный размер окна, через которое математикам открывается бесконечность». Как видно, природа позаботилась, чтобы это окно не было слишком большим; оказывается, малыми средствами с помощью времени можно достигнуть неограниченно больших результатов.

Когда в математике, примерно на рубеже веков, возникла сильная оппозиция теории множеств и актуальной бесконечности, оппозиционеры меньше всего основывались на данных нейрофизиологии и экспериментальной психологии. Соответствующие дисциплины только зарождались, да математики и не интересовались ими. Критика использовала только логические и собственно математические аргументы. Но последние десятилетия обнаружили удивительные совпадения результатов этой критики с изучением работы человеческого мозга, стала ясной связь между интеллектуальной интуицией и особенностями чувственного контакта с внешним миром. Стало, например, очевидным, что основные понятия классического математического анализа (такие, как непрерывность) «принудительно возникают» в нашем сознании и только задним числом приобретают статус вневременных истин, логически безупречных платоновских идей.

А математики-конструктивисты, исходя из чисто логической критики актуальной бесконечности, пришли, в конце концов, к выделению некоторого фрагмента человеческой психики, ответственного за реализацию элементарных алгорифмических процедур. В чем заключается повышенная надежность конструктивных методов? Именно в том, что она использует самые простые и потому общие всем людям психомоторные навыки.

В каждом человеке заложено А-устройство, работающее устойчиво и единообразно. Без этого минимального ядра со сложностью в тысячу с чем-то единиц невозможными были бы никакие четкие умственные операции, и весь воспринимаемый нами мир приобрел бы призрачные сновиденческие черты и стал бы подобен миру Кэрролла, описанному в «Алисе».

Итак, исторически развившееся в недрах самой науки, четкое разделение классической и конструктивной математик, позволило неожиданно заглянуть в тайны работы человеческого мозга. Более того, оно позволило четко различить абстракции, которыми в повседневном, практическом мышлении человек пользуется в нерасчлененном, сложно переплетенном виде. Более того, при построении модели самых простых, базовых операций мышления, стали возможными количественные и качественные оценки ее сложности.

P. S. Математические методы, возникшие в результате исследований, описанных в нашей статье, можно было бы применить и для более практических, приземленных целей. Скажем, на их основе можно было бы делать спортивные ставки. А в целом такие ставки удобно делать через зеркало фонбет перейдя по ссылке.

Автор: А. Морозов.