Блестящая непопулярность математики

На словах математику признают царицей наук, их общим языком, основой всего научно-технического развития, а на деле предпочитают рассказывать об использовании математических методов, а не об их собственной природе. В чем же причина этого явления, которое Бертран Рассел назвал «блестящей непопулярностью математики»?

Конечно, первое, что приходит на ум, — абстрактный характер математики. Но это смотря что с чем сравнивать. Ведь современные физические теории тоже весьма далеки от наглядности, а все-таки авантюры физической мысли привлекают читателя куда сильнее, чем какая-нибудь вполне конкретная прикладная дисциплина. По-видимому, дело не в абстрактности науки как таковой. Во всяком случае, не только в ней.

Дело в том, что основные физические категории — тело, скорость, сила, время, длина и другие — относятся к тем, которыми на интуитивном, практическом уровне владеют буквально все люди, независимо от их образования или возраста. Исключением являются, пожалуй, только новорожденные. Достаточно сказать, что согласно теории относительности движущееся тело увеличивается в длине по направлению движения — и интерес читателя обеспечен. Он не бросит чтения до тех пор, пока не увидит, как автор «выкрутится» из своего положения, как будет доказано столь несообразное с интуитивными представлениями положение.

Надо сказать, что до середины XIX века и математика находилась почти в таком же положении, как физика. Ситуация стала иной потому, что коренным образом изменился характер самой математики. Когда Лобачевский опубликовал свои исследования по неевклидовой геометрии, его открытие возбудило общественный резонанс, сравнимый, пожалуй, с реакцией на теорию относительности. Как, параллельные линии пересекаются?! О, по этому вопросу мог высказаться каждый.

Реакция почтеннейшей публики была в основном отрицательной. Почтеннейшая публика считала, что господин Лобачевский просто-напросто ее дурачит. Но нам интересно в данном случае не это (Эйнштейну тоже на первых порах доставалось от ниспровергателей). Важен сам факт повышенного общественного внимания к научному открытию — факт, основывающийся на всеобщей понятности и доступности самих объектов, о которых идет речь.

Люди потому были так взбудоражены открытием Лобачевского, что каждый считал себя вправе указать на его нелепость или, по крайней мере, со значительной миной порассуждать о нем. Не понимая настоящего предмета геометрических исследований, не владея понятием аксиоматической системы, каждый все же интуитивно понимал парадоксальность и значимость научного факта.

Если же открытие Лобачевского облечь в одежды современных математических терминов, то подавляющей части общества его геометрия (так же, впрочем, как и геометрия Евклида) покажется абракадаброй. Там не будет ни пересекающихся параллельных, ни треугольников, сумма углов которых больше 180 градусов, ни иных захватывающих вещей. Будет лишь ряд абстрактных пространств, определенных аксиомами непонятного содержания, много логической символики и мало слов на понятном языке.

Конечно, понимая, что это специальное научное исследование, никто не будет рисовать на ученого шаржи или писать юморески, но никто и не почувствует, что он, лично он, как-то затронут этим исследованием.

Современная математика изучает не трапеции и пирамиды, не синусы и квадратные уравнения, а структуры отношений между элементами неуточняемой природы. Вот так! Неуточняемой!

На какую интуицию читателя можно рассчитывать, если речь идет об объекте, который… который может оказаться чем или кем угодно. А самого математика и не интересует, «что это за объект». Не интересует принципиально. Важны только отношения, в которые этот объект вступает или может вступать с другими объектами. Отношения, которые задаются аксиомами данной теории.

Такая универсальность всегда считалась сильной стороной математики. И это на самом деле так. Ведь именно поэтому, одно и то же уравнение может описывать и колебания гитарной струны, и вибрацию железобетонного моста, и бег морской волны. Как же можно жаловаться на особенности математики и ее языка, которые лежат в самой природе этой науки и предопределяют ее сильные стороны? До последнего времени и не жаловались. Мало того, пели хвалу все большей формализации математики. С восторгом встречались и попытки — все более многочисленные — перевода на формально-логический язык естественнонаучных теорий. Математизация знаний! Математические методы в биологии, в социологии, в управлении, в…

Но вот восторженность явно начинает спадать. Более того, ее сменяет не просто недоумение, а резкие, критикующие голоса. И что самое удивительное, застрельщиками среди критиков выступают… сами математики. Тут уж никак не отделаешься упоминанием о криках профанов. Не биологи или специалисты по проблемам управления, или какие-то там гуманитарии, а сами математики все чаще и настойчивее критикуют тенденцию развития математического языка. Не из-за трудностей популяризации и даже не из-за трудностей математизации других наук, а уже из-за самой математики. Ради ее благополучия.

Что же это за тенденция? Да все та же: прогрессирующая формализация и аксиоматизация и стиля изложения, и стиля мышления математиков.

Но ведь эта тенденция прогрессивна. Более того, она определяет собою самое существо, самую душу математики. Почему же она вызывает тревогу?

Проблема находится где-то посередине между поговорками: «палка о двух концах» и «все хорошо в меру».

Математики, сформировавшиеся за последние десятилетия, с младых ногтей прониклись чувством посвященных, подобно узкому кругу избранных в ордене пифагорейцев. Это чувство дает им знание современного математического жаргона, умение перевести любую простенькую конкретную задачу на язык мощных универсальных теорий, таких, как теория множеств, абстрактная алгебра и другие.

В свое время эти теории создавались для выражения действительно грандиозных по глубине и охвату идей. Но коль скоро язык уже создан, он начинает восприниматься как самоцель, как явление эстетическое, значимое само по себе.

Больше всего страдают от этого, конечно, представители других наук. Тот же биолог или физиолог просто рвутся в математическую башню из слоновой кости. Математический аппарат им необходим как воздух. Но для этого нужно, чтобы ворота башни открылись и переговоры состоялись на нейтральном поле. Пресловутая «боязнь чужого поля» существует не только в футболе.

И это понятно. Если вы не знаете языка собеседника, то и не отличите дела от безделицы в его речах. Дело еще и в том, что самые общие математические структуры — это настолько широкие платья, что они с легкостью могут быть надеты едва ли не на любую частную задачу. Не так уж сложно, например, описать информационный поиск в терминах теории множеств. Массив документов — одно множество. Запросы — другое множество. Словарь ключевых слов — третье. Критерий соответствия документа запросу — некоторое отображение. После такого переименования можно исписать не один десяток страниц красивыми формулами, соединяющими эти множества элементарными операциями объединения, пересечения или включения.

Может показаться, что в таком наряде задача информационного поиска стала корректнее и точнее, «научнее», что ли. На самом же деле произошло простое переодевание проблемы. Новые блестящие одежды никак не повлияли на ее сущность, не уменьшили трудностей ее решения.

Можно, конечно, описать информационный поиск в терминах теории множеств или какой-либо иной общей математической теории. Но это принесет реальную пользу только в одном случае, если ученый глубоко проник в суть данной задачи — в проблему формального выражения содержания документа и запроса. Только в этом случае он сумеет удачно применить математические понятия, которые реально помогут в решении этой сложной проблемы или, по крайней мере, ее части.

Но наряду с таким созидающим, активным путем всегда существовал и поспешный, имитирующий научность, а по существу, пассивный и бесплодный образ действия. И в последнее время, благодаря почти неограниченному доверию к некоторым достижениям кибернетики и дедуктивных наук, этот образ действия привел чуть ли не к инфляции некоторого фрагмента математической терминологии.

То, что в нашем примере краски отнюдь не сгущены, признают опять-таки сами математики. Вот что пишет известный американский ученый Л. Доуэл о событиях в области информационно-поисковых систем: «Поиск информации — это первоклассный пример того, как перенасыщение математикой может довести науку до окостенения… Однако мертвая хватка математики не ослабевала до 1960 года, когда логик Бар-Хиллел написал черным по белому, что ни одна математическая работа о поиске информации в основном ничего собой не представляет. Поток математических трактатов с тех пор отнюдь не ослаб, но после того, как Бар-Хиллел открыто высказал то, что многие подозревали, люди, травмированные сознанием недостатка математических знаний, вышли из укрытия, и поиск информации расцвел новыми идеями и концепциями…» (Приведя в конечном итоге к созданию современных поисковых систем, таких как Google, Бинг и Яндекс).

Но, может быть, от поигрывания самовитым математическим словом страдают только непосвященные? В том-то и дело, что нет. Чрезмерное увлечение формальным изяществом, игра в логическую сверх- и архистрогость — все это уводит от решения действительно глубоких и чисто математических проблем.

Когда один средневековый придворный поэт влюбился, он с ужасом вдруг обнаружил, что не может объясниться со своей возлюбленной. Как только он начинал с ней говорить, даже в самой интимной обстановке, его натренированный язык сам собою соскальзывал на заученные банальные пышности, вроде: «О, ты, которая…» и т. д. Естественно, что возлюбленная не могла поверить в искренность подобного объяснения.

Подобный «профессионализм» угрожает не только придворным поэтам. А для подданных царицы наук некоторое косноязычие это даже неплохо. «Репутация математика основывается на числе плохих доказательств, которые он придумал», — сказал один из них.

Плохое доказательство — это не неверное, а плохо изложенное, длинное, запутанное доказательство. Почему же репутация математика держится на столь странном основании? Да потому, что всякий глубокий, неожиданный результат, как правило, трудно изложить на уже известном языке. Такой результат как бы взламывает языковый каркас и показывает его недостаточность.

Когда французский математик Жордан опубликовал впервые знаменитую «теорему Жордана» (о том, что окружность разбивает плоскость на две непересекающиеся части), доказательство занимало десятки страниц, на которых тянулась тончайшая и трудноуловимая нить логических умозаключений.

Теперь мы обладаем не одним, а несколькими «хорошими», то есть компактными, легко обозримыми доказательствами. Раз поднявшись на вершину, нетрудно обнаружить, что избранный маршрут не самый прямой и короткий. Раз найдя доказательство, можно затем не один раз улучшать, «вылизывать» его. Но чтобы путь первопроходца был прямым и гладким — такое почти исключено. И не в том только дело, что угадывание прямого пути слишком уж маловероятно. Удобного маршрута зачастую просто-напросто и не существует. Красота глубокой теоремы подобна заколдованному цветку. Она цветет на почтительном расстоянии от ухоженных и тщательно спланированных широких просек научных теорий. А путь через чащобу по линейке не проложишь.

Первое доказательство теоремы Жордана — это как раз путь через чащобу. Чтобы добраться к основному результату, математик вынужден был «по ходу дела» доказывать множество побочных лемм. Некоторые из них имели, конечно, и самостоятельный интерес, но в данном случае были только перевалами на пути к основному пику. И только когда «грубая работа» была проделана, вступили в силу соображения удобства и стройности изложения. Иными словами: канатная дорога как средство передвижения весьма удобна, но чтобы ее натянуть, кто-то уже должен находиться на верхнем пункте. И этот кто-то должен взобраться наверх, не прибегая к помощи канатной дороги. Ведь ее еще просто не существует.

Удачный чертеж, геометрическая интуиция, конечно, не могут быть средством доказательства в современной математике. Но они были и остаются одним из основных приемов математического мышления. И тот, кто насильственно отучает себя от этих приемов, кто с самого начала представляет любую задачу в терминах мощных аксиоматических теорий, не огрубляет ли он свой интеллект? Ведь потеря способности различать тончайшие нюансы возможна не только в области чувств.

Человеческий интеллект — этот тончайший инструмент, дарованный нам природой и социальным развитием человечества, — так же, как и чувства, беспредельно разнообразен и так же, как и чувства, способен к совершенствованию или деградации. В сумерках, как известно, все кошки серы. Но, если совершенно изгнать тень, то кошки вообще не будут видны. Так же, впрочем, как и все остальное. Чтобы видеть вещь, нужны и свет и тени. Чтобы глубоко проникнуть в предмет исследования, необходимо ясно видеть, в чем его индивидуальные отличия от других предметов. Мощные аксиоматические теории не дают такой возможности: они подобны ярким прожекторам, бьющим далеко вдаль, но скрывающим детали.

Тот, для кого натуральный ряд чисел — всего лишь одна из моделей аксиоматической системы Пеано, немного узнает об этом ряде. И наоборот, об одном из виртуозов теории чисел, индийском математике Раманужане, его коллеги говорили, что «каждое положительное целое число было одним из его личных друзей».

Белка, судорожно перебирая лапками, раскручивает колесо так, что уже не видно и перекладин, по которым она прыгает. Белке кажется, что она и сама мчится вперед с сумасшедшей скоростью. И действительно, ведь мчится она… внутри колеса. По опыту жизни в лесу белка запомнила, что единственный и достаточный залог быстрого движения (вперед!) — быстро перебирать лапками. Она не замечает, что внешние условия изменились, что под ней не твердая почва, а вращающееся на месте колесо. Смысл сей притчи довольно прозрачен: конечно, надо двигаться вперед, но, чтобы продвижение было реальным, а не словесным. не худо бы сначала проверить, твердая ли под ногами почва.

Такой твердой почвой во все эпохи развития науки, всегда и везде служило конкретно-проблемное мышление. Только глубокое, требующее привлечения всех интеллектуальных и, шире, всех духовных ресурсов личности проникновение в конкретную проблему — только такая тяжелая, честная умственная работа приводила в дальнейшем к действительно плодотворным обобщениям.

Из чего развился чуть ли не на два тысячелетия предвосхитивший интегральное исчисление метод исчерпывания Архимеда — Эвдокса? Из конкретных, «элементарных» задач вычисления площадей конуса и цилиндра.

Что послужило в XVIII веке толчком к выработке одного из основных понятий всей математики, общего понятия функции? Дискуссия Эйлера и Даламбера о колеблющейся струне.

А гениальные работы Галуа и Абеля, заложившие основы теории групп? Ведь к их созданию привели бесплодные попытки решить чуть ли не «школьную» задачу: найти формулу решения уравнения пятой степени (наподобие всем известной из школьного курса алгебры формулы квадратного уравнения).

И, наконец, святая святых современной математики — теория бесконечных множеств. Теория множеств, на язык которой так спешат переводить ныне самые простые и самые сложные, самые удобные и самые неподходящие для этого задачи. Все помнят и любят повторять слова Д. Гильберта: «Никто не может выгнать нас из рая, созданного для нас Кантором». Но часто забывают о другом, о том, что сам-то творец рая, Георг Кантор, пришел к мысли о его создании, решая конкретные математические задачи.

Все эти примеры говорят об одном и том же: и в самой абстрактной из наук реальные продвижения вперед осуществляет именно конкретное (разумеется, математически конкретное) мышление. Любые, выросшие из частных задач грандиозные обобщающие теории исторически ограниченны.

И даже такие общие концепции, как «аксиоматическая система» и «формально-логическая строгость», — не более, чем исторически преходящие периоды в развитии математики. Чтобы увидеть их границы, надо просто выбрать достаточно высокий пункт обозрения. И так же, как физикам XIX века, воспитанным в ньютонианстве, трудно было угадать приход Эйнштейна, как современным теоретикам «во квантовой механике» невозможно представить, кто же будет тот следующий, с «достаточно безумной» идеей, так же и нам, современникам формализации в математике, невозможно предсказать, что придет ей на смену.

Но история науки — это не только смена неповторимых идей. Это еще и закономерность, которой подчиняется сама эта смена. В истории математики такая закономерность — углубленная работа над конкретными, часто даже и прикладными задачами. Надо только не спешить так видоизменять задачу, чтобы сделать ее доступной уже раз¬аботанному математическому языку. Ведь при таком видоизменении нередко теряется специфичность, само ядро проблемы. Решить частную, конкретную задачу, не изменяя и не облегчая ее, только это и может привести к реальному продвижению вперед, к возникновению новых плодотворных обобщений.

Вслед за монтажниками и каменщиками новый этаж попадает к отделочникам. Настилаются паркеты, навешиваются оконные рамы и двери, стены покрываются обоями. Не будем противопоставлять строителей этих двух категорий: и те, и те делают необходимое и важное дело. Но не будем и забывать, что после того, как отделочные работы закончены, строителям на этаже делать нечего. Его квартиры обживают жильцы для мирной и спокойной жизни.

Тем же, кто хочет возводить новые этажи и первыми видеть новые, раздвигающиеся в беспредельность горизонты, остается осваивать профессию монтажника-высотника. Новых, нестандартных идей и методов ожидают от математиков биологи, медики, социологи, лингвисты…

Одно из основных качественных отличий современной науки — ее возросшее самосознание. Научному анализу подвергается сама наука, трудности и закономерности ее развития. Усиливается взаимопроникновение и взаимозависимость различных областей точного знания. И тем более это относится к математике, которая, по общему признанию, является не только отдельной наукой, но и общим языком всех наук. Поэтому и революционные изменения в современной математике должны ускоряться и стимулироваться всей совокупностью проблем современной научно-технической революции.

Такая стимуляция уже происходит. Отметим только некоторые из ее моментов: диалектика понятий «часть» и «целое» в биологии, релятивизация понятия «состоит из…» в теории элементарных частиц (элементарная частица А «состоит из» частиц В и С, а в то же время частица В «распадается на», то есть тоже «состоит из» А и С), наконец, структуры, которые изучаются в теории алгоритмических языков, в которых «содержание» фиксированного термина изменяется во времени.

Все эти релятивистские, диалектически изменчивые объекты требуют для их математического «осмысления» новых, нетрадиционных методов.

А «драма идей», которую могут привести за собой эти методы, в науке, как известно, имеет всегда счастливый конец: приобретение нового знания. Двигаясь по широкой магистрали, не следует пренебрегать и разведкой новых трасс. В математике такое пренебрежение привело бы к тому, что забуксовала бы реальная математизация здания и пришлось бы уже говорить «о двух культурах» в самой математике.

Автор: А. Морозов.