Принцип максимума в математике и его значение

Статья написана Павлом Чайкой, главным редактором журнала «Познавайка». С 2013 года, с момента основания журнала Павел Чайка посвятил себя популяризации науки в Украине и мире. Основная цель, как журнала, так и этой статьи – объяснить сложные научные темы простым и доступным языком

В 1696 году двадцатидевятилетний Иоганн Бернулли выдвинул задачу, которой было суждено сыграть выдающуюся роль в развитии одной из важнейших ветвей математического анализа. Она была удивительно проста на первый взгляд, эта задача. Даны две точки А и В, не лежащие на одной вертикальной прямой. Требовалось найти форму кривой, по которой тяжелый шарик скатится без трения из точки А в точку В в кратчайшее время.

Несмотря на кажущуюся простоту, задача привлекла внимание блестящих математиков того времени. Вскоре были даны три ее решения. Одно принадлежало старшему брату Иоганна — Якобу Бернулли. Другое прислал Гийом Франсуа Лопиталь, а третье — великий Ньютон. Сам Иоганн Бернулли тоже знал решение своей задачи.

Ею оказалась вовсе не наклонная прямая АВ, как могло показаться с первого взгляда. На такой прямой скорость движения скатывающегося шарика нарастает сравнительно медленно. Можно предложить сколько угодно кривых, по которым «путешествие» из А в В займет меньше времени. Такие кривые должны круче спускаться из точки А вниз, чтобы скорость движения нарастала быстрее и большая часть пути была пройдена стремительнее.

Но быстрее всего шарик скатится по линии «кратчайшего времени» — брахистохроне. В данном случае ею служит циклоида с горизонтальным основанием и точкой возврата в А. Задача о брахистохроне, поставленная Иоганном Бернулли, послужила мощным толчком для развития вариационного исчисления — одного из самых могущественных инструментов в руках современных физиков и механиков. Оно изучает методы нахождения наибольших и наименьших значений, так называемых функционалов — переменных величин, зависящих от выбора той или другой, а иногда и нескольких сразу функций.

Простейший пример функционала — длина кривой. Соединяя две точки различными линиями, мы получим кривые разной длины. Следовательно, длина «пути» из А в В является переменной величиной, зависящей от выбора кривой, то есть выбора функции, определяющей уравнение этой кривой.

Функционалами будут и площадь, ограниченная замкнутой кривой, и объем, заключенный внутри некоторой поверхности, и тысячи других важных для практики величин. Прикладное значение вариационного исчисления исключительно велико. Многие важнейшие положения физики и механики формулируются в виде вариационных принципов.

На одной из фабрик, например, потребовалось сделать транспортер, чтобы передавать кольца с верхнего этажа на нижний, из одного угла огромного зала в другой. Авторы проекта решили использовать для этого наклонный желоб, по которому кольца сами скатываются вниз. Все решалось бы очень просто, но нужно было выполнить еще небольшое, но естественное, добавочное условие: время на скатывание должно быть минимальным. И сразу же возник вопрос: как для этого проложить желоб?

Если просто соединить «пункт отправления» с «пунктом назначения» прямой линией, то задача будет решена не наилучшим, не оптимальным способом. Действительно, по такому желобу кольца станут разгоняться медленно и поэтому потратят на свое «путешествие» лишнее время. Лучше поступить иначе: сделать в начале желоба очень крутой наклон, чтобы кольца стремительно набирали скорость. А затем уже может следовать значительно более пологий участок. Разогнавшиеся кольца быстро проскочат его.

Это, конечно, рассуждения «на пальцах». И на такой сомнительной основе вряд ли можно решать судьбу технического проекта. Но в данном случае нет нужды базироваться на ней. Вариационное исчисление дает наилучшее, оптимальное решение этой задачи с абсолютной точностью: желоб нужно проложить по так называемой «кривой скорейшего спуска». И как бы вы ни фантазировали, как бы ни ухищрялись, какие бы иные пути ни предлагали, по кривой скорейшего спуска кольца скатятся быстрее всего.

К сожалению, далеко не всегда вариационное исчисление может дать такое простое решение для реальных инженерных задач. В жизни все оказывается гораздо сложнее.

Жизнь любит крайности

Вариационное исчисление легко нашло наивыгоднейший профиль желоба для скатывания колец. Но это вовсе не значит, что обрадованные инженеры немедленно побегут в мастерскую заказывать детали транспортера. Очень может быть, что математическое решение не только не обрадует их, а наоборот, повергнет в уныние. Ведь конструкция здания — его перекрытия, полы, стены, уж не говоря о расположении оборудования, могут не позволить проложить желоб так, как требует неумолимое уравнение, не признающее никаких реальных ограничений.

Ну, а как же все-таки надо расположить транспортер, чтобы обогнуть встречающиеся на его пути препятствия и в то же время обеспечить скатывание колец в кратчайший срок? Классическое вариационное исчисление бессильно в этом случае. Когда нет никаких ограничений, никаких препятствий, пожалуйста,— оно готово немедленно прийти на помощь. Но если реальная жизнь накладывает на задачу свои условия, его уравнения теряют силу и оказываются бесполезными.

Вот еще самый простой пример. На пути строителей железной дороги встретился глубокий и широкий овраг. Его можно полностью засыпать и сделать дорогу идеально ровной. Но можно поступить и иначе: на подступах к оврагу вырыть траншеи и пустить поезд в выемках. Наконец, что мешает скомбинировать оба эти способа? Как же поступить? Как лучше всего провести магистраль, чтобы стоимость ее оказалась наименьшей?

Это, вероятно, покажется странным, но до самого последнего времени математика была не в состоянии строго решить такой «пример», хотя по неосторожности мы и назвали его «самым простым».

Вся беда в том, что мы прокладываем дороги не всемогущим вездеходам, а обыкновенным локомотивам. И строгие инструкции предписывают: уклон пути не может быть больше какого-то максимально допустимого значения. При этих ограничениях здравый смысл подсказывает совершенно естественное решение: надо воспользоваться именно этими предельными уклонами, проложить дорогу под максимально допустимым углом. Это и будет оптимальным решением,— утверждает здравый смысл.

А вот классическое вариационное исчисление — строгая математическая наука — говорит иное. Оно считает, что оптимального решения в данном случае вообще нет. По крайней мере, при тех предположениях, которые необходимо сделать, чтобы воспользоваться его методами. Дело в том, что великолепно отточенное, прекрасно отшлифованное оружие классического вариационного исчисления выковано в предположении, что оптимальное решение лежит где-то в «середине» возможностей, а вовсе не на самом краю. И таких-то «крайних» решений вариационное исчисление просто-напросто не замечает. Их для него не существует. Между тем такие задачи встречаются не только у строителей железнодорожных магистралей.

На границе допустимого

…Разбежавшись по взлетной полосе, серебристый гигант взмыл в небо и, ревя моторами, взял курс на северо-запад. Маршрут небольшой для такого корабля — всего-то семьсот километров. И упущенные минуты здесь не наверстаешь. Поэтому особенно важно не упускать их. Но вот как это сделать? Забраться на предельную высоту, где сопротивление воздуха меньше и скорость заметно выше, чем над самой землей? Но тогда потеряешь массу времени на взлет и посадку. Лететь над самой землей? Но здесь скорость полета куда ниже, чем на высоте десять-одиннадцать километров. Так как же вести самолет, как управлять двигателями, положением рулей? Ясно лишь одно: все возможности машины надо использовать до конца, работать на «предельных» режимах. А раз так, то решение бесполезно искать с помощью классического вариационного исчисления.

Многие и многие задачи сводятся к таким же «неклассическим» проблемам. Как вести космическую ракету к Венере, чтобы израсходовать меньше всего горючего и не вывести из строя двигатели чрезмерной нагрузкой? Как управлять приводом огромного блюминга, чтобы быстрее всего реверсировать машину? “Что предпринять, если могучая домна или грандиозная химическая установка вышли из заданного режима? Каждая минута их «неправильной» работы губит огромное количество сырья. Необходимо любой ценой, предельным использованием всех возможностей вернуть агрегат в нужный режим за кратчайшее время.

Если мы собираемся управлять каким-то объектом, то совершенно очевидно, что он должен иметь «рули» — устройства, которые позволяют изменять его движение. Положение «рулей» тоже характеризуется числами. Это может быть и количество топлива, подаваемого в двигатель, и сила тока, и угол наклона элеронов самолета. Поэтому управление объектом можно записать в виде последовательности цифр, описывающих положение «рулей» за время движения.

Любая реальная машина ограничена в своих возможностях. Нельзя подавать в двигатель слишком много горючего — он «захлебнется». Точно так же нельзя подвести в электромотор очень большой ток — сгорит обмотка. Следовательно, цифры, характеризующие положение «рулей», не могут быть больше каких-то предельных значений. Но равны этим значениям они могут быть.

Совершенно очевидно, что, приняв какое-то управление, то есть записав последовательные положения «рулей», мы заставим свой объект совершить вполне определенное движение. Скажем, задав автопилоту режим работы двигателей и порядок включения механизмов поворота, спуска и подъема, мы тем самым определим какую-то траекторию самолета, и тогда на перелет потребуется некоторое время. При ином управлении траектория будет другой и на полет уйдет другое время.

Существует такое управление, при котором на путешествие понадобится меньше всего времени. Это управление и будет оптимальным по быстродействию. Ученые доказали, что оптимальным является такое управление, и такая траектория, которые сделают максимальным некоторое математическое выражение.

Чтобы не уходить в те самые дебри, где математики «теряют» своих родственников, мы не станем выписывать эту сакраментальную формулу. А просто вспомним старую школьную шутку о «пифагоровых штанах».

Где-то в самом начале геометрии мы узнаем о том, что если треугольник прямоугольный, то его стороны удовлетворяют теореме Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. И теперь, если нам скажут, что у треугольного огорода одна сторона равна А метрам, другая — В, а третья — С, и если мы заметим, что А2+В2 = С2, то, не глядя на план, мы можем смело утверждать, что огород имеет форму прямоугольного треугольника.

Нечто аналогичное происходит и здесь: если управление оптимально, то оно удовлетворяет принципу максимума, найденному математиками. По формулировке принцип максимума напоминает теорему классического вариационного исчисления: если решение существует, то оно удовлетворяет уравнению Эйлера (а в более сложных случаях аналогичным уравнениям).

Однако принцип максимума гораздо могущественнее. Он, в частности, допускает и решения, лежащие на границе возможностей. Поэтому все те задачи, о которых мы говорили, неразрешимые с точки зрения вариационного исчисления, теперь решаются стандартным приемом, не требующим уже никаких хитростей.

Методы, предложенные учеными, по существу, заложили основу нового отдела высшей математики. Причем классическое вариационное исчисление Эйлера, Вейерштрасса и Лагранжа оказывается всего лишь частным случаем этой теории.

Ни одна математическая теория не всемогуща. А тем более молодая. Принципу максимума не так уж и много лет. Но уже сейчас его успехи чрезвычайно велики. Сегодня принцип максимума позволяет решать бесчисленное множество важных для практики задач. Но его творцы смотрят далеко вперед и выдвигают задачи невероятной сложности. Скажем, поиски оптимального управления случайными процессами. Правда, строго решить задачу об управлении совершенно случайным явлением пока не удалось. Но если оно подчиняется хотя бы законам теории вероятности, ответ может быть дан совершенно точный.

Собаки и высшая математика

Если бы собаки знали высшую математику, а в особенности владели бы вариационным исчислением, охота, наверняка, протекала бы гораздо успешнее. Скажем, вы подняли зайца, и собака бросилась за ним. Охотничий инстинкт заставляет ее бежать все время «на дичь», она мчится так, чтобы заяц все время был на ее пути. И с точки зрения математики, собака допускает грубую ошибку. Если уж поставить себе цель догнать зайца в кратчайшее время, бежать надо иначе. Нужно мчаться по особой кривой, которая так и называется — линия погони.

Еще со времен великих математиков Эйлера и Вейерштрасса ученые начали интересоваться подобными задачами и создали целую область науки — вариационное исчисление. Решает оно очень интересные проблемы, и задача с собакой, конечно, всего лишь шутка. Но эта шутка позволяет заглянуть в существо идей вариационного исчисления. Бесчисленное множество технических вопросов во многом напоминает погоню собаки за зайцем.

Автор: Л. Юрьев.