Цифри замість інтуїції

Є математичні завдання, до яких ми звикли. Ми вирішуємо їх спочатку в школі, а потім, в більш складному вигляді, – у вищих навчальних закладах. Нікого зараз не вражають складні математичні розрахунки колосальних інженерних конструкцій і споруд. І для нас немає нічого дивного в тому, що політ космічного корабля і роботу атомного реактора розраховують математики. Але от уявімо собі таке завдання: у студента-другокурсника є три знайомі дівчини. Якщо він запросить одну з них в суботу на танці, то дві інші образяться. Тому можливо, що обидві вони наступного тижня відкинуть його запрошення. Крім того, може статися, що дівчина, яку він запросив, ухвалить повторне запрошення більш охоче (або навпаки – менш охоче). Припускаючи, що дівчата не будуть «пам’ятати образу» більше тижня, потрібно визначити, як повинен вести себе юнак, щоб число успішних запрошень було максимальним. Що це, запитає читач, – жарт?

Хвилину терпіння. Ось ще одне незвичайне завдання. Слідчий, який встановлює особу правопорушника, має кілька свідків, серед яких знаходиться і сам правопорушник. Слідчий може задавати кожному тільки по одному питанню, в тому числі і питання про надійність показань попередніх свідків. В якому порядку повинен він вести допит, щоб виявити правопорушника при найменших витратах часу?

Наведені завдання взяті з курсу молодого розділу математики, який називається динамічним програмуванням. Вони вирішуються абсолютно строго, однозначно, причому для цього потрібні досить складні математичні розрахунки. В останні роки в математичних дослідженнях виникли зовсім нові напрямки. Їх об’єднує загальна назва «аналіз операцій», однак завдання і методи цих напрямків різні. Тому в новій галузі математики виділяють три головних розділи – теорію ігор, лінійне програмування, динамічне програмування.

ТІЛЬКИ ВИГРАШ

Нові математичні дисципліни не зовсім звичайні: вони мають справу з завданнями, здавалося б, абсолютно не математичного характеру. Наприклад, теорія ігор, як це випливає із самої назви, займається дослідженням різних ігор і розглядає найбільш раціональні методи їх ведення – для того, щоб забезпечити виграш людині, що знає теорію.

Втім, математичне поняття «гри» дещо відрізняється від того, що зазвичай мають на увазі під ним в повсякденному житті. У математиці гра – це будь-яка конфліктна ситуація між двома або кількома людьми, з яких кожен бажає вийти «переможцем». Це може бути гра в шахи, в карти, судова тяганина. У зв’язку з таким широким поняттям «гри» всі конфлікти діляться на два широких класи: ігри з нульовою сумою та ігри з ненульовою сумою. До першого класу відносяться конфлікти, при яких одна сторона виграє або програє рівно стільки, скільки програє чи виграє інша. В іграх з ненульовою сумою виграш і програш не рівні між собою. Наприклад, карткова гра преферанс відноситься до категорії ігор з нульовою сумою. Після закінчення кожної партії чи ряду партій, гравці розраховують свій виграш чи програш. Сума всіх виграшів і програшів обов’язково дорівнює нулю.

При вирішенні ігрових завдань математики розглядають різні варіанти стратегії гри і визначають, яку суму гравець повинен буде виграти або програти, вибравши той чи інший варіант. Природно, що вони з’ясовують і найбільш розумну стратегію, яка дає найбільший виграш.

Математична теорія ігор, проте, не розглядає так звані азартні ігри, де виграші або програші учасників гри залежать не від їхньої майстерності та обраної стратегії гри, а від чистого випадку.

Економічні зв’язки між країнами можна також дослідити методами теорії ігор. Якщо економічні відносини між державами побудовані на рівноправних, чесних і взаємовигідних засадах, то це буде «гра» з ненульовою сумою, тому що в ній не буде переможених сторін.

Цікавим класом ігрових завдань є завдання «на виживання», завдання «на розорення», завдання «на переслідування». Ця термінологія, прийнята в даний час в математичній літературі, обумовлена історично. Вона явно вказує на те, які проблеми цікавлять математиків останнього часу , що розробляють логічно обґрунтовані методи боротьби конкуруючих монополій і монополістичних груп. Однак, як це часто буває в науці, методика вирішення однієї задачі може бути застосовна до вирішення широкого класу задач, що не мають нічого спільного ні з розоренням, ні з виживанням, ні з переслідуванням. Наприклад, до класу задач «на розорення» може бути віднесено завдання про оптимальну експлуатацію корисних копалин даного району. Тут «розорятися» будуть надра землі.

ВИ ЗНАЙОМІ З АЛГЕБРОЮ!

Найбільш простий розділ аналізу операцій – лінійне програмування. Ним може оволодіти будь-яка людина, знайома з алгеброю в обсязі середньої школи. Щоб зрозуміти метод лінійного програмування, уявімо собі залізничний вагон, в якому можна перевезти вантаж у двох видах тари, наприклад – в ста ящиках, або в трьохстах бочках. Припустимо, що вантаж необхідно везти одночасно в ящиках і бочках. Які комбінації тари при цьому можливі?

Для вирішення питання достатньо в прямокутних координатах на одній осі відкласти відрізок, що дорівнює кількості ящиків (сто), а на іншій – кількості бочок (триста). Якщо ми з’єднаємо кінці обох відрізків прямою лінією, то координати будь-якої точки отриманої прямої будуть відповідати всім можливим комбінаціям.

Задачу про тару можна ускладнити, додавши, що весь вантаж уміщається ще й у сімдесяти тюках. Як скомбінувати всі три види тари? У цьому випадку доведеться скористатися тривимірною системою координат.

Геометричне місце точок площини, що проходить через три відрізки, представлятиме всі можливі варіанти заповнення вагона ящиками, бочками і тюками. Якщо об’єктів більше, скажімо, п’ять чи десять, тоді площина перетвориться на площину п’ятивимірного або десятивимірного простору, якими математики теж вміють оперувати.

Але, мабуть, найцікавіший момент теорії лінійного програмування – це пошуки серед всіх можливих варіантів так званого оптимального, тобто найкращого. Наприклад, вартість перевезення вантажів у ящиках може бути одна, в бочках – інша, в тюках – третя. Лінійне програмування дозволяє вирішити питання, який вид тари буде найекономічнішим.

Лінійне програмування все частіше і частіше застосовується для вирішення різних завдань практичної економіки. Раціональне використання виробничої потужності підприємств, продумане складання виробничих завдань, саме вигідне розміщення капіталовкладень – всі ці питання планування можна вирішувати методами лінійного програмування.

КРОК ЗА КРОКОМ

Складним, але вельми перспективним розділом аналізу операцій є динамічне програмування. Методи динамічного програмування дозволяють вирішувати такі завдання, коли досягнення мети можливо лише в результаті деякого, може бути навіть нескінченно великого, числа окремих кроків. Іноді такі завдання називаються багатокроковими. Приклад із запрошенням дівчат на танці – подібне завдання. Адже тут кожен попередній крок впливає на всю ситуацію і, отже, для досягнення мети необхідно, щоб всі послідовні кроки (запрошення) підпорядковувалися певній закономірності.

При вирішенні цього досить легковажного завдання студент повинен точно розрахувати, як охоче кожна з дівчат прийме запрошення. Потім, після кожного запрошення, він повинен з’ясувати, як воно вплине на його шанси танцювати в наступну суботу. Це потрібно для того, щоб зупинити вибір на тій, хто найімовірніше погодиться піти з ним на танцмайданчик.

Динамічне програмування вказує загальні математичні методи вибору багатокрокової «стратегії». Воно широко застосовується в найважливіших економічних дослідженнях. З його допомогою розробляють системи, що складаються з багатьох дій (кроків, заходів), які найкоротшим шляхом призводять до наміченої мети. Сюди відносяться завдання про послідовність капіталовкладень в різні галузі промисловості, про продумане витрачання запасів сировини, природних ресурсів, енергії, про раціональну систему забою та продажу худоби і т. д.

ЦЕ ТЕЖ МАТЕМАТИКА

Ми коротко розповіли про три названі на початку статті напрямки математичних досліджень. Але «аналіз операцій» не обмежується тільки їх вирішенням. Область його застосування значно ширше. Зокрема, він захоплює і таку цікаву область, як теорію поведінки. Цей розділ математики перетинається з кібернетикою і теорією інформації і дозволяє математично передбачити і описати багато явищ у світі живих організмів.

Теорія поведінки виходить з вивчення поведінки як окремих організмів, так і колективів живих істот. Основним поданням, яке дозволяє математично розглядати деякі сторони поведінки, є регулювання. Регулювання являє собою суму реакцій організму на зміну зовнішнього і внутрішнього середовища.

Математична теорія автоматичного регулювання добре розроблена для машин і механізмів, і багато її положень виявляються застосовними для опису поведінки живих істот. Зокрема, аналогом павловської теорії рефлексів є в теорії регулювання зворотний зв’язок.

Розглядаючи «державу» комах, наприклад бджіл, можна помітити, що тут принцип математичного регулювання спрямований на те, щоб забезпечити життєдіяльність великої кількості комах. Поведінка кожного члена спільноти в свою чергу визначається необхідністю підтримувати в колективі найсприятливіші умови для життя.

На шляху математичного дослідження поведінки живих істот стоять ще більші труднощі, тому що, звичайно, не всі особливості поведінки організмів можна звести до спрощеної системи автоматичного регулювання. Але можна сподіватися, що з розвитком точних методів в біологічних дослідженнях будуть отримані дані, які дозволять поглибити і розширити цей захоплюючий розділ прикладної математики.

Сучасна математика – цікава, хвилююча наука. За останні роки в ній відбулись глибокі зміни і зроблені великі відкриття, які виводять її на якісно новий щабель. Методи математичного аналізу допомагають вирішувати багато життєво важливих проблем, які раніше вирішувалися тільки великим досвідом, а часом лише здогадкою, інтуїцією.

Автор: А. Міцкевич.

P. S. А ще за допомогою різноманітних математичних інструментів, зокрема і теорії ігор, можна скажімо, розробляти вдалі інвестиції в інтернет трейдинг, будувати стратегію поведінки на фондовій чи валютній біржі і таке інше.