Принцип максимуму. Продовження.

Стаття написана Павлом Чайкою, головним редактором журналу «Пізнавайка». З 2013 року з моменту заснування журналу Павло Чайка присвятив себе популяризації науки в Україні та світі. Основна мета як журналу, так і цієї статті – пояснити складні наукові теми простою та доступною мовою.

Якщо ми збираємося керувати якимось об’єктом, то абсолютно очевидно, що він повинен мати «рулі» – пристрої, які дозволяють змінювати його рух. Положення «рулів» теж характеризується числами. Це може бути і кількість палива, що подається в двигун, і сила струму, і кут нахилу елеронів літака. Тому управління об’єктом можна записати у вигляді послідовності цифр, що описують стан «рулів» за час руху.

Будь-яка реальна машина обмежена в своїх можливостях. Не можна подавати в двигун занадто багато пального – вона «захлинеться». Точно так само не можна підвести в електромотор дуже великий струм – згорить обмотка. Отже, цифри, характеризують стан «рулів», не можуть бути більше якихось граничних значень. Але рівні цим граничним значенням вони можуть бути.

Цілком очевидно, що, прийнявши якесь управління, тобто записавши послідовні положення «рулів», ми змусимо свій об’єкт зробити цілком певний рух. Скажімо, задавши автопілоту режим роботи двигунів і порядок включення механізмів повороту, спуску і підйому, ми тим самим визначимо якусь траєкторію літака, і тоді на переліт буде потрібно якийсь час. При іншому управлінні траєкторія буде іншою і на політ піде інший час.

Існує таке управління, при якому на подорож знадобиться найменше часу. Це управління і буде оптимальним за швидкодією. Вчені довели, що оптимальним є таке управління, і така траєкторія, які зробили максимально деякі математичні вирази.

Щоб не йти в ті самі нетрі, де математики «втрачають» своїх родичів, ми не станемо виписувати цю сакраментальну формулу. А просто згадаємо старий шкільний жарт про «піфагорові штани».

Десь на самому початку геометрії ми дізнаємося про те, що якщо трикутник прямокутний, то його боки задовольняють теоремі Піфагора: сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. І тепер, якщо нам скажуть, що у трикутного городу одна сторона дорівнює А метрам, інша – В, а третя – С, і якщо ми помітимо, що А2 + В2 = С2, то, що не дивлячись на план, ми можемо сміливо стверджувати, що город має форму прямокутного трикутника.

Щось аналогічне відбувається і тут: якщо управління оптимально, то воно задовольняє принципу максимуму, знайденому математиками. За формулюванням принцип максимуму нагадує теорему класичного варіаційного числення: якщо рішення існує, то воно задовольняє рівнянню Ейлера (а в більш складних випадках аналогічним рівнянням).

Однак принцип максимуму набагато могутніший. Він, зокрема, допускає і рішення, що лежать на кордоні можливостей. Тому всі ті завдання, про які ми говорили, нерозв’язні з точки зору варіаційного обчислення, тепер вирішуються стандартним прийомом, що не вимагає вже ніяких хитрощів.

Методи, запропоновані вченими, по суті, заклали основу нового відділу вищої математики. Причому класичне варіаційне числення Ейлера, Вейерштрасса і Лагранжа виявляється всього лише окремим випадком цієї теорії.

Жодна математична теорія не всемогутня. А тим більше молода. Принципу максимуму не так вже багато років. Але вже зараз його успіхи надзвичайно великі. Сьогодні принцип максимуму дозволяє вирішувати безліч важливих для практики задач. Але його творці дивляться далеко вперед і висувають завдання неймовірної складності. Скажімо, пошуки оптимального управління випадковими процесами. Правда, строго вирішити задачу про управління абсолютно випадковим явищем поки не вдалося. Але якщо воно підпорядковується хоча б законам теорії ймовірності, відповідь може бути дана абсолютно точна.

Автор: Л. Юр’єв.