Нескорені фортеці в математиці

Рішення важкої математичної проблеми можна порівняти зі взяттям фортеці. Падінню математичної фортеці зазвичай передує тривала і наполеглива облога. Спочатку розвідуються шляхи підходу до цитаделі — можливі шляхи вирішення. Потім одна за одною захоплюються позиції, що прикривають підступи до проблеми. (У багатьох випадках для взяття фортеці доводиться використовувати абсолютно нову техніку — розробити математичні методи, що не зустрічалися до сих пір.) Після цього починається штурм. Він призводить до падіння деяких фортів — вирішення частини з випадків досліджуваної проблеми, з’ясування їх зв’язку один з одним. Це дозволяє зрозуміти загальний план фортеці, а тоді вже не встояти і ключовим позиціям. Нарешті, настає щасливий день – фортеця взята, проблема вирішена.

Після падіння чергової математичної фортеці починається період швидкого просування вперед: одна за одною вирішуються великі і малі задачі, виявляються абсолютно несподівані зв’язки, відшукуються важливі практичні застосування. Зрозуміло, це просування не нескінченно — новостворені методи виявляються недостатніми для вирішення нових завдань, сама постановка яких була неможливою до вирішення проблеми: на шляху наступаючих військ постають нові бастіони.

Зрозуміло, не завжди рішення проблеми протікає так, як було описано вище. Іноді падіння фортеці є результатом прориву на іншій, далекій ділянці математичного фронту. Після такого прориву можна піднятися на висоти, з яких всю фортецю видно, як на долоні, а тоді легко скласти план її штурму.

Але якщо в історії воєнних дій невідома ні одна фортеця, яка витримала б облогу більше десяти років, то в математиці є невирішені проблеми, над якими думають вже понад двох тисяч років. Причому найчастіше ці проблеми формулюються настільки просто, що зрозуміти їх може школяр шостого класу.

Одне з найбільш старих невирішених завдань пов’язане з досконалими числами. Так називають числа, які дорівнюють сумі всіх своїх дільників (включаючи одиницю, але виключаючи саме число). Наприклад, досконалими числами є числа 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14 та інші. Існує правило для відшукання всіх парних досконалих чисел. Якщо 2^p — 1 це просте число, то 2^p-1 досконале число. Інших парних досконалих чисел немає. Але досі ніхто не знає, чи є хоч одне непарне досконале число. Всі підрахунки, зроблені і в комп’ютерах, не привели до відкриття таких чисел. У той же час поки відсутній і доказ того, що таких чисел немає.

Багато зусиль було витрачено на вирішення інших завдань, також висхідних до давньогрецької математики, — задач про побудову циркулем і лінійкою квадрата, рівновеликого даному колу (завдання про квадратуру кола), і про поділ довільного кута на три рівні частини (задача про трисекцію кута). Всі зусилля, спрямовані на вирішення цих завдань, не привели до мети. Нарешті, в минулому столітті було доведено, що які б складні побудови ми не робили, які б лінії і кола не проводили, перетворити коло на рівновеликий квадрат або поділити довільний кут на три рівні частини не вдасться. Щоб прийти до такого результату, знадобився багатовіковий розвиток математичного аналізу та теорії алгебраїчних рівнянь, знадобився абсолютно новий підхід до математики — для греків сама ідея, що можна довести неможливість вирішення якогось завдання, була глибоко чужа.

Хоча вже давно доведена неможливість вирішення завдань про квадратуру кола і про трисекцію кута, в математичні установи різних країн досі приходять листи з «рішеннями» цих та інших складних завдань. Автори подібних «робіт» володіють досить слабкими знаннями з математики і зовсім не сприймають критику їх «діяльності».

Велика теорема Ферма

А ось з так званою великою теоремою Ферма справа йде складніше. Французький юрист П’єр Ферма (1601-1665) на дозвіллі займався теорією чисел і отримав ряд важливих результатів. Він не записував своїх доказів, тому після смерті Ферма багато отриманих ним результатів прийшлось доводити заново. Це вдалося зробити майже для всіх теорем Ферма (одне припущення виявилося невірним), але одна теорема не піддалася зусиллям математиків. А серед них були чудові вчені, наприклад, Леонард Ейлер. Формулювання цієї «невирішеної» теореми дуже просте. Якщо натуральне число n>2 рівняння хⁿ + yⁿ = zⁿ не можна розв’язати в цілих додатних числах (при n=2 такі рішення існують, наприклад, x=3, y=4, z=5)

Багато математиків-любителів присвятили все своє життя спробам довести цю теорему. Один з них, такий собі Вольфскель, навіть заповів великі гроші — 100 000 марок тому, хто вирішить проблему Ферма. Це викликало новий потік робіт. Їх надсилали інженери, вчителі, священики, банкіри, світські дами і т. д. Рішення були найрізноманітнішими, і лише одна риса їх об’єднувала — повне невігластво в галузі математики, нерозуміння всієї складності проблеми. Про діяльність ферматистів серед математиків ходять різні легенди. Розповідають, наприклад, що один ферматист надіслав до Академії наук таку телеграму: «Вирішив проблему Ферма! Основна ідея — перевести zⁿ в ліву частину рівності. Подробиці листом».

Зрозуміло, проблемою Ферма займалися і серйозні математики. Їм вдалося довести, що твердження Ферма справедливо для всіх n

Дослідження проблеми Ферма призвели до розвитку важливої області математики — теорії цілих алгебраїчних чисел. Ще до першої світової війни Гіттінгенське математичне товариство двічі присуджувало заохочувальні премії за просування в області проблеми Ферма. Однак зараз математичний інтерес до проблеми Ферма невеликий — вона стоїть в стороні від головних шляхів розвитку математики.

Далі буде.

Автор: Н. Віленкін.

P. S. Про що ще говорять британські вчені: про те, що завдання організувати весілля, (включаючи всі тонкощі, як весільний кортеж у Львові, наявність музикантів, фотографів, тощо) з математичної точки зору не менш складне, ніж доказ теореми Фібоначчі.