Нескорені фортеці в математиці. Продовження.
Проблема Ферма (див. попередню статтю) — не єдина нерозв’язана проблема в теорії чисел. Досі невідомо, наприклад, чи нескінченна безліч натуральних значень n, при яких 2n+1 — просте число. Невідомо, чи є кожне парне число сумою двох простих чисел. У 1937 році академік В. М. Виноградов довів, що кожне досить велике непарне число є сумою трьох простих чисел. Проте межа, починаючи з якої виконується твердження Виноградова, настільки велика, що один математик назвав її жартома такою, що виходить за межі Галактики — число атомів в Галактиці незмірно менше цього числа. Невідомо, чи є кожне досить велике натуральне число сумою простого числа і квадрату натурального числа.
Ймовірно, читач може поставити питання, а чи потрібні рішення цих проблем, чи не належать вони до числа таких, про яких кажуть «сім років мак не родив, і те й голоду не було». Треба сказати, що сумніви в практичній значущості теорії чисел висловлювали і багато вельми видатних вчених. Розповідають, наприклад, що одного разу відомий кораблебудівник академік Ш. Н. Крилов, виступаючи на вшануванні одного відомого фахівця в області теорії чисел, виголосив таку промову: «Вельмишановний NN, коли я закінчив Морську академію, мій незабутній вчитель Олександр Миколайович Коркін запитав мене:
— Чи не хочете ви, Олексій Миколайович, зайнятися теорією чисел?
— Які там проблеми? — запитав я його, в свою чергу.
— А ось візьміть число 2n+1, з’ясуйте, коли воно просте, а коли складне, і прославитеся на весь світ.
— Мені для практики байдуже, чи просте воно чи складне, — сказав я Коркіну і не став займатися теорією чисел.
А ви, вельмишановний NN, стали займатися теорією чисел і прославилися на весь світ.
Не знаю, чи правдива ця історія; адже про Олексія Миколайовича Крилова розповідають багато. Але якщо вона вірна, то слід визнати, що знаменитий кораблебудівник помилився. Зараз методи і результати теорії чисел стали застосовуватися в таких практично важливих речах, як створення завадостійких кодів, при вивченні шифрів, при дослідженнях деяких питань теорії ймовірностей, при наближеному обчисленні інтегралів і т. д. та й взагалі, досить ризиковано пророкувати, наскільки важливими для практики виявляться ті чи інші дослідження. Ще сто років тому роботи з математичної логіки здавалися найбільш відірваними від яких би то не було практичних додатків. А тепер ці роботи лягли в основу інформатики і програмування, теорії автоматів і багатьох інших суто технічних дисциплін.
Але не тільки в практичній значущості робіт з теорії чисел суть справи. При вирішенні цих іноді дійсно далеких від практики питань відточується математична техніка, розробляються нові методи, які потім знаходять застосування в зовсім інших дослідженнях. Наприклад, методи, використані в кінці XIX століття Адамаром та Балі-Пуссеном для дослідження розподілу простих чисел, пізніше лягли в основу теорії цілих функцій комплексної змінної, яка має ряд найважливіших практичних додатків (скажімо, у квантовій механіці). Тому математики завжди проявляють інтерес до «непіскорених фортець».
У 1900 році на Другому міжнародному математичному конгресі в Парижі один з найбільших математиків XX століття, Д. Гільберт, виступив з доповіддю про видатні математичні проблеми. Він поставив у ньому 23 проблеми, вирішення яких повинно було супроводжуватися істотними просуваннями в тих чи інших областях математики. Більшість цих проблем вже вирішено, причому найчастіше їх рішення супроводжувалося побудовою абсолютно нової математичної теорії.
Так, у 1934 році математик А. О. Гельфонд вирішив сьому проблему Гільберта, показавши, що якщо а — алгебраїчне число, відмінне від 0 та 1, а Р — ірраціональне алгебраїчне число, аР не є алгебраїчним числом, тобто не може задовольняти ніякому алгебраїстичному рівнянню з цілими коефіцієнтами.
Звідки виникають нові математичні проблеми? Частина з них з’являється всередині самої математики. Але особливо багато невирішених завдань встає на кордонах математики і прикладних дисциплін. Часто фізику, механіку, інженеру вдається отримати рішення стоячої перед ним проблеми з допомогою сміливої гіпотези і несуворих методів. Це рішення дає результати, близькі до отриманих експериментально, але дослідник не відчуває себе повністю задоволеним; занадто необґрунтовані застосовані методи.
Таких прикладів багато в аеродинаміці, квантовій електродинаміці, в інших галузях науки. Наприклад, близько ста років тому відомий вчений Л. Прандтль прийшов до висновку, що між рухомим тілом і навколишнім газом існує тонкий прикордонний шар, що володіє особливими властивостями. Зараз з пограничним шаром мають справу всі конструктори літаків і ракет. Розпечений до 10 000°С прикордонний шар спостерігали льотчики-космонавти при поверненні корабля в атмосферу. Число робіт, присвячених прикордонному шару, досягає декількох тисяч. Але досі нікому не вдалося вивести існування прикордонного шару з рівняння руху в’язкої рідини (або газу). Ці рівняння дуже складні, надто великі математичні труднощі їх дослідження.
Багато десятиліть фізики користуються при розрахунках так званою теорією збурень, яка дозволяє розкласти дослідження того чи іншого явища на порівняно просту основну частину і підрахунок поправок, викликаних тими чи іншими ускладнюючими обставинами. Точність отриманих результатів дуже велика, інколи вона перевищує досягнуту точність експерименту. Але математики вміють обґрунтувати теорію збурень лише у вузькому класі випадків, абсолютно недостатню для потреб фізики. Не даремно один відомий математик сказав; «Книга з квантової механіки — це чудовий збірник задач з функціонального аналізу. Тільки завдання в цьому збірнику сформульовані не зовсім звичайно — словами «тому», «звідси випливає», «як легко бачити» і т. д.».
Дійсно, обґрунтування багатьох речей, які фізикам здаються очевидними, вимагає складних математичних досліджень. Втім, переконаність фізиків у правильності своїх висновків зрозуміле: вони можуть перевірити їх експериментально. Невирішені завдання є навіть у математичних питаннях небесної механіки — однієї з найстаріших областей математичного природознавства. Ще Ньютону вдалося до кінця вирішити задачу про рух двох тіл, що притягуються один до одного за законом всесвітнього тяжіння. Проте вже для трьох тіл остаточного вирішення такого завдання немає до сих пір, хоча цією проблемою займалися багато видатних математиків, астрономів та механіків. Ще гірша справа з «завданням багатьох тіл», наприклад, з вивченням руху планет Сонячної системи. Звичайно, використовуючи чисельні методи розрахунку, легко визначити положення планет на найближчі сто, двісті і навіть тисячу років. Але обчислення не можуть відповісти на питання, чи стійка Сонячна система. Адже теоретично взаємне тяжіння планет може настільки порушити правильність їх руху, що через трильйони років планети або впадуть на Сонце, або підуть в міжзоряний простір.
Для вивчення питань стійкості були створені різні математичні методи. Великий внесок у цю область науки внесли російський механік А. М. Ляпунов, французький математик А. Пуанкаре та багато інших. Однак основні труднощі в проблемі стійкості Сонячної системи їм не вдалося подолати: занадто великі були ускладнення, пов’язані з так званою проблемою малих знаменників. Справа в тому, що частоти рухів деяких великих планет майже однакові. А адже чим менше знаменник, тим більше відповідний доданок, тим більше обурення вносять ці планети у взаємний рух.
Незважаючи на тривалі зусилля багатьох математиків, не вдалося впоратися з труднощами, пов’язаними з проблемою малих знаменників. Лише порівняно недавно німецькому вченому К. Зігелго вдалося отримати значні результати в цьому питанні.
Автор: Н. Віленкін.