Тайна бесконечности
Интерес к очень большим числам появился в самой глубокой древности. Чтобы сказать о чем-то, что очень велико, египтяне прибегали к образным сравнениям. В одном из текстом гробницы жреца бога Аи (XIV в. до н. э.) говорится: «Да наградит тебя он (Бог) юбилеями, как число песка на берегу моря… или вес горы, взвешенной на весах, или перья птиц, или листья деревьев». Египтянам было трудно выразить иначе свою мысль, так как у них не была достаточно развита система числовых обозначений. Но уже более 4000 лет назад в Древнем Вавилоне появилась шестидесятиричная система счисления, и вавилонские математики свободно справлялись с очень большими числами.
В одной из таблиц приводятся все делители числа 195 955 200 000000. Об очень больших числах говорится и в индусских легендах о Будде. По одной из них его еще в детстве подвергли испытанию в числах и, переходя от одного разряда к другому, он дошел до чисел, которыми выражается весь песок десятка лакх (лакха — 100 000) рек, таких, как Ганг. А еще в одном древней индуской книге рассказывается о сравнении, в котором участвовали 10 в 23 степени обезьян. Такого количества обезьян не смогла бы вместить вся Солнечная система!
По видимому уже египтяне и вавилоняне пришли к идее вечности — к мысли, что течение времени не будет иметь конца. Эта идея ярко выражена в восточной притче: «Вот алмазная гора высотой в тысячу локтей. Раз в столетие прилетает птичка и точит свой клюв о гору. Когда она сточит всю гору, пройдет первое мгновение вечности».
Однако и в Египте, и в Вавилоне еще не было мысли о бесконечности пространства. Считалось, что небо — это твердая сфера, опирающаяся на Землю, а что находится за пределами сферы, смертным знать не дано. Но уже в VI в. до н. э. в Древней Греции возникла идея бесконечности пространства. Греческие ученые говорили: «Где бы ни стал воин, он сможет протянуть свое копье еще дальше». (Теперь мы знаем, что это рассуждение доказывает не бесконечность пространства, а лишь его неограниченность, но в древности такие тонкости были недоступны уму ученых.) Так возникли модель мира, бесконечного во всех направлениях и вечного во времени. Наиболее смелые мыслители утверждали даже, что мир не имел и начала.
ДЕЛИТСЯ ИЛИ НЕ ДЕЛИТСЯ?
После того, как появилась идея бесконечности, интересы ученых обратились не только к бесконечно большим величинам (вечности, бесконечному пространству), но и к величинам бесконечно малым. Повседневный опыт учил, что хлеб, яблоко, кувшин вина можно разделить между сидящими за столом. В случае необходимости можно каждую из частей снова разделить на части. Но через несколько шагов получались настолько маленькие части, что дальше деление становилось невозможным. Чтобы дать представление о столь малых величинах применялись такие образы, как «пылинка», «маковое зерно» и т. д. Но можно ли делить на части пылинку? Повседневный опыт здесь не помогал, и его место должны были занять умозрения. И вот, споря об устройстве тех бесконечно малых величин, из которых сложен весь видимый мир, математики и философы распались на два лагеря.
Представители одного из них признавали возможным бесконечное деление. Они говорили, что «среди малых величин не существует наименьшей, но уменьшение идет непрерывно, ибо существующее не может перестать существовать» (Анаксагор, V в. до н. э.). Представители второго лагеря возражали: «если деление двух величин на части может продолжаться до бесконечности, то нет основания считать одну величину больше, чем другая, а самая природа неравенства уничтожается». Им казалось — если любую вещь можно разделить на бесконечное множество бесконечно малых величин, то все вещи окажутся равными друг другу — все они будут состоять из одинакового числа одинаковых величин. Идея, что и бесконечность имеет свои градации, свои ступени, не приходила им в голову — для этого и математика и философии должны были пройти очень долгий путь развития.
Отыскивая выход из этого затруднения, представители второго направления и философии предположили, что все тела состоят из далее неделимых частиц — атомов. Атомисты обсуждали, каковы эти атомы,— имеют ли они размеры и неделимы в силу крайней твердости и отсутствия пустот или же напротив, они неделимы, так как не имеют размеров.
Таким образом, атомисты и их противники расходились лишь во взглядах на природу вещей. В том, что само пространство безгранично делимо, не сомневался никто. Но в середине V века н. э. философ Зенон Эленский открыл, что предположение о бесконечной делимости пространства приводит к противоречиям. Он утверждал: если пространство можно делить на любое число частей, то не может быть движения. Ведь летящая стрела, прежде чем попасть в цель, должна пролететь половину пути, а до этого она должна пролететь четверть пути, а до этого – одну восьмую пути и т. д. И так как процесс деления пути пополам никогда не кончится, то полет стрелы никогда не начнется, стрела всегда будет неподвижна. Точно так же Зенон «доказывал», что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленную черепаху.
Аргументы Зенона показали, как наивны были представления о бесконечности, господствовавшие в тогдашней философии и математике. Оказалось, что конечный отрезок можно разбить на бесконечное число отрезков, каждый из которых имеет конечную длину — а до Зенона все полагали, что сумма бесконечного числа протяженных отрезков бесконечна.
Интересно, что сейчас в теоретической физике неожиданным образом возникают противоречия, чем-то напоминающие противоречия Зенона. Только у Зенона бесконечным оказалось время, за которое стрела прилетит расстояние до цели, а у современных физиков бесконечна энергия взаимодействия электрона с порождаемым им электромагнитным полем. И может быть, причины затруднений Зенона и современных физиков чем-то родственны – в обоих случаях речь идет о строении пространства в малом, о возможности применять к микромиру понятия, возникшие в обыденной жизни.
После Зенона нельзя было обращаться с бесконечностью с небрежностью, характерной для его предшественников. Нельзя было больше говорить, что «круг — это правильный многоугольник с бесконечно большим числом сторон», а что «пирамида состоит из бесконечного числа многоугольников» (впрочем, такие утверждения попадались в некоторых учебниках математики в XIX веке, через два тысячелетия после Зенона).
Но философы не сразу отказались от привычных понятий. Чтобы восстановить бесконечность в правах, Демокрит создал теорию о существовании мельчайших, неделимых далее частей линий, поверхностен и тел. При этом он, по-видимому, имел в виду не физические тела (физический атомизм был создан Леокиппом задолго до Демокрита), а новое представление об устройстве самого геометрического пространства. Если бы Демокриту удалась его попытка, рассуждения Зенона потеряли бы свое острие — как только в процессе деления мы дойдем до неделимых далее частей пространства, все пойдет как по маслу — стрела полетит в цель. Ахиллес догонит черепаху и т. д. Однако теория пространства по Демокриту слишком противоречила устоявшимся представлениям. Другую попытку спасти положение предпринял величайший философ древности Аристотель. Он допускал бесконечный процесс деления пополам, но отрицал возможность разделить отрезок на бесконечное множество бесконечно малых частей.
СЧЕТ ПЕСЧИНОК
Споры Демокрита, Зенона, Аристотеля были весьма важны для философов. Но главным образом они волновали математиков. Ведь сама идея бесконечности насквозь математична, на ней строились многие математические методы, и критика Зенона непосредственно задевала веру в справедливость полученных результатов. Надо было подводить фундамент под покосившееся здание. В первую очередь надо было укрепить ту простейшую математическую модель, которая отражала идею бесконечности — идею бесконечного числового ряда.
Понятие о таком ряде имело важнейшее значение для всего хода развития математики. Сейчас даже ученик неполной средней школы знает, что числовой ряд бесконечен, что среди натуральных чисел нет наибольшего, а за каждым натуральным числом идет следующее. Но когда-то идеи о бесконечности числового ряда была величайшим завоеванием математической и философской мысли.
И хотя греческие ученые и знали, что числовой ряд бесконечен, они не умели записывать слишком большие числа. Самым большим числом, которое они умели называть, была октада, то есть 10 в третьей степени. Только в ІІІ в. до н. э. появилось сочинение Архимеда «Псаммит» («Исчисление песчинок»), где он показывает существование числа, большего, чем число всех песчинок в шаре, радиус которого равен расстоянию до сферы неподвижных звезд (в те времена думали, что все звезды прикреплены к сфере, в центре которой находится Земля). Хотя расстояние от Земли до звезд Архимед взял слишком малым, но его система счисления была такой, что с ее помощью можно было бы выразить даже число атомов в мире, радиус которого равен расстоянию до самой отдаленной туманности.
Автор: Н. Виленкин.