Принцип максимума

В 1696 году двадцатидевятилетний Иоганн Бернулли выдвинул задачу, которой было суждено сыграть выдающуюся роль в развитии одной из важнейших ветвей математического анализа. Она была удивительно проста на первый взгляд, эта задача. Даны две точки А и В, не лежащие на одной вертикальной прямой. Требовалось найти форму кривой, по которой тяжелый шарик скатится без трения из точки А в точку В в кратчайшее время.

Несмотря на кажущуюся простоту, задача привлекла внимание блестящих математиков того времени. Вскоре были даны три ее решения. Одно принадлежало старшему брату Иоганна — Якобу Бернулли. Другое прислал Гийом Франсуа Лопиталь, а третье — великий Ньютон. Сам Иоганн Бернулли тоже знал решение своей задачи.

Ею оказалась вовсе не наклонная прямая АВ, как могло показаться с первого взгляда. На такой прямой скорость движения скатывающегося шарика нарастает сравнительно медленно. Можно предложить сколько угодно кривых, по которым «путешествие» из А в В займет меньше времени. Такие кривые должны круче спускаться из точки А вниз, чтобы скорость движения нарастала быстрее и большая часть пути была пройдена стремительнее.

Но быстрее всего шарик скатится по линии «кратчайшего времени» — брахистохроне. В данном случае ею служит циклоида с горизонтальным основанием и точкой возврата в А. Задача о брахистохроне, поставленная Иоганном Бернулли, послужила мощным толчком для развития вариационного исчисления — одного из самых могущественных инструментов в руках современных физиков и механиков. Оно изучает методы нахождения наибольших и наименьших значений, так называемых функционалов — переменных величин, зависящих от выбора той или другой, а иногда и нескольких сразу функций.

Простейший пример функционала — длина кривой. Соединяя две точки различными линиями, мы получим кривые разной длины. Следовательно, длина «пути» из А в В является переменной величиной, зависящей от выбора кривой, то есть выбора функции, определяющей уравнение этой кривой.

Функционалами будут и площадь, ограниченная замкнутой кривой, и объем, заключенный внутри некоторой поверхности, и тысячи других важных для практики величин. Прикладное значение вариационного исчисления исключительно велико. Многие важнейшие положения физики и механики формулируются в виде вариационных принципов.

На одной из фабрик, например, потребовалось сделать транспортер, чтобы передавать кольца с верхнего этажа на нижний, из одного угла огромного зала в другой. Авторы проекта решили использовать для этого наклонный желоб, по которому кольца сами скатываются вниз. Все решалось бы очень просто, но нужно было выполнить еще небольшое, но естественное, добавочное условие: время на скатывание должно быть минимальным. И сразу же возник вопрос: как для этого проложить желоб?

Если просто соединить «пункт отправления» с «пунктом назначения» прямой линией, то задача будет решена не наилучшим, не оптимальным способом. Действительно, по такому желобу кольца станут разгоняться медленно и поэтому потратят на свое «путешествие» лишнее время. Лучше поступить иначе: сделать в начале желоба очень крутой наклон, чтобы кольца стремительно набирали скорость. А затем уже может следовать значительно более пологий участок. Разогнавшиеся кольца быстро проскочат его.

Это, конечно, рассуждения «на пальцах». И на такой сомнительной основе вряд ли можно решать судьбу технического проекта. Но в данном случае нет нужды базироваться на ней. Вариационное исчисление дает наилучшее, оптимальное решение этой задачи с абсолютной точностью: желоб нужно проложить по так называемой «кривой скорейшего спуска». И как бы вы ни фантазировали, как бы ни ухищрялись, какие бы иные пути ни предлагали, по кривой скорейшего спуска кольца скатятся быстрее всего.

К сожалению, далеко не всегда вариационное исчисление может дать такое простое решение для реальных инженерных задач. В жизни все оказывается гораздо сложнее.

ЖИЗНЬ ЛЮБИТ КРАЙНОСТИ

Вариационное исчисление легко нашло наивыгоднейший профиль желоба для скатывания колец. Но это вовсе не значит, что обрадованные инженеры немедленно побегут в мастерскую заказывать детали транспортера. Очень может быть, что математическое решение не только не обрадует их, а наоборот, повергнет в уныние. Ведь конструкция здания — его перекрытия, полы, стены, уж не говоря о расположении оборудования, могут не позволить проложить желоб так, как требует неумолимое уравнение, не признающее никаких реальных ограничений.

Ну, а как же все-таки надо расположить транспортер, чтобы обогнуть встречающиеся на его пути препятствия и в то же время обеспечить скатывание колец в кратчайший срок? Классическое вариационное исчисление бессильно в этом случае. Когда нет никаких ограничений, никаких препятствий, пожалуйста,— оно готово немедленно прийти на помощь. Но если реальная жизнь накладывает на задачу свои условия, его уравнения теряют силу и оказываются бесполезными.

Вот еще самый простой пример. На пути строителей железной дороги встретился глубокий и широкий овраг. Его можно полностью засыпать и сделать дорогу идеально ровной. Но можно поступить и иначе: на подступах к оврагу вырыть траншеи и пустить поезд в выемках. Наконец, что мешает скомбинировать оба эти способа? Как же поступить? Как лучше всего провести магистраль, чтобы стоимость ее оказалась наименьшей?

Это, вероятно, покажется странным, но до самого последнего времени математика была не в состоянии строго решить такой «пример», хотя по неосторожности мы и назвали его «самым простым».

Вся беда в том, что мы прокладываем дороги не всемогущим вездеходам, а обыкновенным локомотивам. И строгие инструкции предписывают: уклон пути не может быть больше какого-то максимально допустимого значения. При этих ограничениях здравый смысл подсказывает совершенно естественное решение: надо воспользоваться именно этими предельными уклонами, проложить дорогу под максимально допустимым углом. Это и будет оптимальным решением,— утверждает здравый смысл.

А вот классическое вариационное исчисление — строгая математическая наука — говорит иное. Оно считает, что оптимального решения в данном случае вообще нет. По крайней мере, при тех предположениях, которые необходимо сделать, чтобы воспользоваться его методами. Дело в том, что великолепно отточенное, прекрасно отшлифованное оружие классического вариационного исчисления выковано в предположении, что оптимальное решение лежит где-то в «середине» возможностей, а вовсе не на самом краю. И таких-то «крайних» решений вариационное исчисление просто-напросто не замечает. Их для него не существует. Между тем такие задачи встречаются не только у строителей железнодорожных магистралей.

НА ГРАНИЦЕ ДОПУСТИМОГО

…Разбежавшись по взлетной полосе, серебристый гигант взмыл в московское небо и, ревя моторами, взял курс на северо-запад – к берегам Невы. Маршрут небольшой для такого корабля — всего-то семьсот километров. И упущенные минуты здесь не наверстаешь. Поэтому особенно важно не упускать их. Но вот как это сделать? Забраться на предельную высоту, где сопротивление воздуха меньше и скорость заметно выше, чем над самой землей? Но тогда потеряешь массу времени на взлет и посадку. Лететь над самой землей? Но здесь скорость полета куда ниже, чем на высоте десять-одиннадцать километров. Так как же вести самолет, как управлять двигателями, положением рулей? Ясно лишь одно: все возможности машины надо использовать до конца, работать на «предельных» режимах. А раз так, то решение бесполезно искать с помощью классического вариационного исчисления.

Многие и многие задачи сводятся к таким же «неклассическим» проблемам. Как вести космическую ракету к Венере, чтобы израсходовать меньше всего горючего и не вывести из строя двигатели чрезмерной нагрузкой? Как управлять приводом огромного блюминга, чтобы быстрее всего реверсировать машину? “Что предпринять, если могучая домна или грандиозная химическая установка вышли из заданного режима? Каждая минута их «неправильной» работы губит огромное количество сырья. Необходимо любой ценой, предельным использованием всех возможностей вернуть агрегат в нужный режим за кратчайшее время.

Продолжение следует.

Автор: Л. Юрьев.