Несдавшиеся крепости в математике

Статья написана Павлом Чайкой, главным редактором журнала «Познавайка». С 2013 года, с момента основания журнала Павел Чайка посвятил себя популяризации науки в Украине и мире. Основная цель, как журнала, так и этой статьи – объяснить сложные научные темы простым и доступным языком

Решение трудной математической проблемы можно сравнить со взятием крепости. Падению математической крепости обычно предшествует длительная и упорная осада. Сначала разведываются пути подхода к цитадели — возможные пути решения. Потом одна за другой захватываются позиции, прикрывающие подступы к проблеме. (Во многих случаях для взятия крепости приходится использовать совершенно новую технику — разработать не встречавшиеся до сих пор математические методы.) После этого начинается штурм. Он приводит к падению некоторых фортов — решению части из случаев изучаемой проблемы, выяснению их связи друг с другом. Это позволяет понять общий план крепости, а тогда уж не устоять и ключевым позициям. Наконец, наступает счастливый день – крепость взята, проблема решена.

После падения очередной математической крепости начинается период быстрого продвижения вперед: одна за другой решаются большие и малые задачи, выявляются совершенно неожиданные связи, отыскиваются важные практические применения. Разумеется, это продвижение не бесконечно — вновь созданные методы оказываются недостаточными для решения новых задач, сама постановка которых была невозможна до решения проблемы: на пути наступающих войск встают новые бастионы.

Разумеется, не всегда решение проблемы протекает так, как было описано выше. Иногда падение крепости является результатом прорыва на другом, далеком участке математического фронта. После такого прорыва можно подняться на высоты, с которых вся крепость видна, как на ладони, а тогда легко составить план ее штурма.

Но если в истории военных действий неизвестна ни одна крепость, которая выдержала бы осаду более десяти лет, то в математике есть нерешенные проблемы, над которыми думают уже свыше двух тысяч лет. Причем зачастую эти проблемы формулируются настолько просто, что понять их может школьник шестого класса.

Одна из самых старых нерешенных задач связана с совершенными числами. Так называют числа, которые равны сумме всех своих делителей (включая единицу, но исключая само число). Например, совершенными числами являются числа 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14 и другие. Существует правило для отыскания всех четных совершенных чисел. Если 2^p — 1 это простое число, то 2^p-1 совершенное число. Других четных совершенных чисел нет. Но до сих пор никто не знает, есть ли хоть одно нечетное совершенное число. Все подсчеты, сделанные и в компьютерах, не привели к открытию таких чисел. В то же время пока отсутствует и доказательство того, что таких чисел нет.

Много усилий было затрачено на решение других задач, также восходящих к древнегреческой математике,— задач о построении циркулем и линейкой квадрата, равновеликого данному кругу (задача о квадратуре круга), и о делении произвольного угла на три равные части (задача о трисекции угла). Все усилия, направленные на решение этих задач, не привели к цели. Наконец, в прошлом веке было доказано, что какие бы сложные построения мы ни делали, какие бы линии и окружности ни проводили, превратить круг в равновеликий квадрат или разделить произвольный угол на три равные части не удастся. Чтобы прийти к такому результату, понадобилось многовековое развитие математического анализа и теории алгебраических уравнений, понадобился совершенно новый подход к математике — для греков сама идея, что можно доказать невозможность решения какой-то задачи, была глубоко чуждой.

Хотя уже давно доказана невозможность решения задач о квадратуре круга и о трисекции угла, в математические учреждения разных стран до сих пор приходят письма с «решениями» этих и других неразрешимых задач. Авторы подобных «работ» обладают весьма слабыми знаниями по математике и совершенно не воспринимают критику их «деятельности».

Великая теорема Ферма

А вот с так называемой великой теоремой Ферма дело обстоит сложнее. Французский юрист Пьер Ферма (1601—1665) на досуге занимался теорией чисел и получил ряд важнейших результатов. Он не записывал своих доказательств, поэтому после смерти Ферма многие полученные им результаты пришлась доказывать заново. Это удалось сделать почти для всех теорем Ферма (одно предположение оказалось неверным), но одна теорема не поддалась усилиям математиков. А среди них были замечательные ученые, например, Леонард Эйлер. Формулировка этой «неподдающейся» теоремы очень проста. Если натуральное число n>2 то уравнение хⁿ + yⁿ = zⁿ нельзя решить в целых положительных числах (при n=2 такие решения существуют, например, x=3, y=4, z=5)

Многие математики-любители посвятили всю свою жизнь попыткам доказать эту теорему. Один из них, некто Вольфскель, даже завещал большие деньги — 100 000 марок тому, кто решит проблему Ферма. Это вызвало новый поток работ. Их присылали инженеры, учителя, священники, банкиры, светские дамы и т. д. Решения были самыми разнообразными, и лишь одна черта их объединяла — полное невежество в области математики, непонимание всей сложности проблемы. О деятельности ферматистов среди математиков ходят самые разные легенды. Рассказывают, например, что один ферматист прислал в Академию наук такую телеграмму: «Решил проблему Ферма! Основная идея — перевести zⁿ в левую часть равенства. Подробности письмом».

Разумеется, проблемой Ферма занимались и серьезные математики. Им удалось доказать, что утверждение Ферма справедливо для всех n

Исследования по проблеме Ферма привели к развитию важной области математики — теории целых алгебраических чисел. Еще до первой мировой войны Геттингенское математическое общество дважды присуждало поощрительные премии за продвижения в области проблемы Ферма. Однако сейчас математический интерес проблемы Ферма невелик — она стоит в стороне от главных путей развития математики.

Продолжение следует.

Автор: Н. Виленкин.