Несдавшиеся крепости в математике. Продолжение.
Проблема Ферма (смотрите прошлую статью) — не единственная нерешенная проблема в теории чисел. До сих пор неизвестно, например, бесконечно ли множество натуральных значений n, при которых 2n+1 — простое число. Неизвестно, является ли каждое четное число суммой двух простых чисел. В 1937 году академик И. М. Виноградов доказал, что каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых чисел. Однако граница, начиная с которой выполняется утверждение Виноградова, настолько велика, что один математик назвал ее в шутку выходящей за пределы Галактики — число атомов в Галактике неизмеримо меньше этого числа. Неизвестно, является ли каждое достаточно большое натуральное число суммой простого числа и квадрата натурального числа.
Вероятно, читатель может поставить вопрос, а нужны ли решения этих проблем, не относятся ли они к числу таких, о которых говорят «семь лет мак не родил, и то голода не было». Надо сказать, что сомнения в практической значимости теории чисел высказывали и многие весьма видные ученые. Рассказывают, например, что однажды знаменитый кораблестроитель академик Ш. Н. Крылов, выступая на чествовании одного известного специалиста в области теории чисел, произнес следующую речь: «Глубокоуважаемый NN, когда я закончил Морскую академию, мой незабвенный учитель Александр Николаевич Коркин спросил меня:
— Не хотите ли вы, Алексей Николаевич, заняться теорией чисел?
— Какие же там проблемы? — спросил я его, в свою очередь.
— А вот возьмите число 2n+1 , выясните, когда оно простое, а когда составное, и прославитесь на весь мир.
— Мне для практики безразлично, простое оно или составное,— сказал я Коркину и не стал заниматься теорией чисел.
А вы, глубокоуважаемый NN, стали заниматься теорией чисел и прославились на весь мир.
Не знаю, правдива ли эта история; ведь об Алексее Николаевиче Крылове рассказывают многое. Но если она верна, то следует признать, что знаменитый кораблестроитель ошибся. Сейчас методы и результаты теории чисел стали применяться в таких практически важных вещах, как создание помехоустойчивых кодов, при изучении шифров, при исследованиях некоторых вопросов теории вероятностей, при приближенном вычислении интегралов и т. д. Да и вообще, весьма рискованно предсказывать, насколько важными для практики окажутся те или иные исследования. Еще сто лет тому назад работы по математической логике казались наиболее оторванными от каких бы то ни было практических приложений. А теперь эти работы легли в основу информатики и программирования, теории автоматов и многих других чисто технических дисциплин.
Но не только в практической значимости работ по теории чисел суть дела. При решении этих иногда действительно далеких от практики вопросов оттачивается математическая техника, разрабатываются новые методы, которые затем находят применение в совсем иных исследованиях. Например, методы, использованные в конце XIX века Адамаром и Балле-Пуссеном для исследования распределения простых чисел, позднее легли в основу теории целых функций комплексного переменного, имеющей ряд важнейших практических приложений (скажем, в квантовой механике). Поэтому математики всегда проявляют интерес к «несдавшимся крепостям».
В 1900 году на Втором международном математическом конгрессе в Париже один из крупнейших математиков XX века, Д. Гильберт, выступил с докладом о нерешенных математических проблемах. Он поставил в нем 23 проблемы, решение которых должно было сопровождаться существенными продвижениями в тех или иных областях математики. Большинство этих проблем уже решено, причем зачастую их решение сопровождалось построением совершенно новой математической теории.
Так, в 1934 году математик А. О. Гельфонд решил седьмую проблему Гильберта, показав, что если а — алгебраическое число, отличное от 0 и 1, а Р — иррациональное алгебраическое число, то аР не является алгебраическим числом, то есть не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.
Откуда возникают новые математические проблемы? Часть из них появляется внутри самой математики. Но особенно много нерешенных задач встает на границах математики и прикладных дисциплин. Часто физику, механику, инженеру удается получить решение стоящей перед ним проблемы с помощью смелой гипотезы и нестрогих методов. Это решение дает результаты, близкие к полученным экспериментально, но исследователь не чувствует себя полностью удовлетворенным; слишком необоснованны примененные методы.
Таких примеров много в аэродинамике, в квантовой электродинамике, в других областях науки. Например, около ста лет назад известный ученый Л. Прандтль пришел к выводу, что между движущимся телом и окружающим его газом существует тонкий пограничный слой, обладающий особыми свойствами. Сейчас с пограничным слоем имеют дело все конструкторы самолетов и ракет. Раскаленный до 10 000°С пограничный слой наблюдали летчики-космонавты при возвращении корабля в атмосферу. Число работ, посвященных пограничному слою, достигает нескольких тысяч. Но до сих пор никому не удалось вывести существование пограничного слоя из уравнения движения вязкой жидкости (или газа). Слишком сложны эти уравнения, слишком велики математические трудности их исследования.
Многие десятилетия физики пользуются при расчетах так называемой теорией возмущений, которая позволяет разложить исследование того или иного явления на сравнительно простую основную часть и подсчет поправок, вызываемых теми или иными осложняющими обстоятельствами. Точность полученных результатов очень велика, иногда она превышает достигнутую точность эксперимента. Но математики умеют обосновывать теорию возмущений лишь в узком классе случаев, совершенно недостаточном для надобностей физики. Не зря один известный математик сказал; «Книга по квантовой механике — это замечательный сборник задач по функциональному анализу. Только задачи в этом сборнике сформулированы не совсем обычно — словами «поэтому», «отсюда следует», «как легко видеть» и т. д.».
Действительно, обоснование многих вещей, которые физикам кажутся очевидными, требует сложнейших математических исследований. Впрочем, убежденность физиков в правильности своих выводов понятна: они могут проверить их экспериментально. Нерешенные задачи есть даже в математических вопросах небесной механики — Одной из самых старых областей математического естествознания. Еще Ньютону удалось до конца решить задачу о движении двух тел, притягивающихся друг к другу по закону всемирного тяготения. Однако уже для трех тел окончательного решения подобной задачи нет до сих пор, хотя этой проблемой занимались многие видные математики, астрономы и механики. Еще хуже обстоит дело с «задачей многих тел», например, с изучением движения планет Солнечной системы. Конечно, используя численные методы расчета, легко определить положение планет на ближайшие сто, двести и даже тысячу лет. Но вычисления не могут ответить на вопрос, устойчива ли Солнечная система. Ведь теоретически взаимное притяжение планет может настолько нарушить правильность их движения, что через триллионы лет планеты либо упадут на Солнце, либо уйдут в межзвездное пространство.
Для изучения вопросов устойчивости были созданы различные математические методы. Большой вклад в эту область науки внесли русский механик А. М. Ляпунов, французский математик А. Пуанкаре и многие другие. Однако основные трудности в проблеме устойчивости Солнечной системы им не удалось преодолеть: слишком велики были осложнения, связанные с так называемой проблемой малых знаменателей. Дело в том, что частоты движений некоторых больших планет почти соизмеримы. А ведь чем меньше знаменатель, тем больше соответствующее слагаемое, тем большее возмущение вносят эти планеты во взаимное движение.
Несмотря на длительные усилия многих математиков, не удалось справиться с трудностями, связанными с проблемой малых знаменателей. Лишь сравнительно недавно немецкому ученому К. Зигелго удалось получить значительные результаты в этом вопросе.
Автор: Н. Виленкин.