Таємниця нескінченності. Продовження.

Геометрія

Якщо з ідеєю нескінченності в арифметиці справи йшли порівняно благополучно, то про геометрію цього ніяк не можна було сказати. Адже саме протиріччя з звичними геометричними уявленнями завдало рішучого удару уявленням Демокрита. Навіть розподіл відрізка навпіл перетворювався у нього в майже нерозв’язну проблему. Уявіть собі відрізок, що складається з непарного числа неподільних. Куди віднести середню неподільну – до правої або лівої половини відрізка?

В обох випадках отримаємо нерівні відрізки, і розподіл навпіл виявиться неможливим. Неможливо було б розділити навпіл і коло – центр кола відійшов би до однієї з частин і воно виявилося б через це більше іншої частини. Звичайна геометрія справлялася з цим зовсім просто – при розподілі відрізка навпіл обидві частини забезпечувалися кінцями, і ніхто не замислювався над тим, що з однієї точки – середини відрізка – вийшли дві. Геометри не сприймали відрізок як безліч точок. Їх цікавила лише довжина цього відрізка, а від додавання або віднімання однієї точки довжина відрізка не змінюється.

І все-таки, користуючись атомістичними уявленнями, Демокрит зумів вирішити важкі математичні завдання. Зокрема, це саме він знайшов вираз для об’єму піраміди. Але, незважаючи на всі ці успіхи, математики того часу зустрілися з нерозв’язними проблемами. Апорії Зенона настільки суперечили повсякденному досвіду, що поставили перед математиками питання – а чи можна користуватися в математичних міркуваннях поняттям нескінченного? Слідувати за Демокритом їм теж не хотілося – не мати можливості розділити відрізок навпіл, вважати піраміду і кулю шорсткими тілами їм не сподобалося.

І математики вигнали неподільні зі своєї науки. Разом з неподільними з математики була вигнана і нескінченність. І ось Евклід, формулюючи свою знамениту теорему про безліч простих чисел, виражається дуже обережно – «простих чисел існує більше всякої запропонованої кількості простих чисел». Бачите – «більше всякої запропонованої кількості», а нескінченно багато чи ні – про це Евклід замовчує. Він, як і всі сучасні йому математики, намагався уникати поняття нескінченності.

Відкинувши неподільні і нескінченні процеси, математики опинилися в скрутному становищі – методи Демокрита, хоч і не строго, але все-таки давали формули для обчислення площ і об’ємів. Тепер же довелося розробляти новий спосіб обчислення геометричних величин, в якому б ні звуку не говорилося про нескінченність, про нескінченно малі, про неподільні. Таку процедуру створив у IV ст. до н. е. Евдокс, який розробив метод вичерпання (або, інакше, виснаження), в якому деякі бачать предка сучасного методу меж. Коли Евдоксу хотілося, наприклад, довести, що площі кіл відносяться, як квадрати їх діаметрів, він спочатку припускав противне, – скажімо, що ставлення цих площ більше відношення квадратів діаметрів. А потім він будував такі багатокутники, що один з них був менше іншого, а площа його виявлялася більше площі іншого. Це протиріччя доводило помилковість зробленого припущення.

Всім хороший був метод Евдокса, але у нього був великий недолік – спочатку треба дізнатися, який результат потрібно довести цим методом. А це можна було зробити лише за допомогою відданих анафемі методів Демокрита. Загалом, гони нескінченність в двері, вона влетить у вікно.

І ЛІНЬ БУВАЄ КОРИСНА

Втім сама вона, звичайно, не влетить. Промайнули століття, і досягнення стародавніх греків були міцно забуті. Про нескінченність якщо й згадували, то тільки в дебатах на тему: «Чи нескінченна кількість ангелів, яка може поміститися на кінчику голки?». І лише в XVI -XVII століттях вчені стали знову, незважаючи на переслідування інквізиції, придумувати інфітізімальні – тобто засновані на понятті нескінченно малого – математичні методи.

І, ймовірно, ми й не здогадувалися б, наскільки античні математики випередили середньовічних, якби не одна подія, що трапилася вже на початку XX століття. У 1906 році приват-доцент Петербурзького університету Попандопуло-Керамевса знайшов у бібліотеці одного з єрусалимських монастирів якийсь богословський трактат. Так як у середні віки пергамент був дуже дорогий, то зазвичай брали древні книги, змивали або стирали з них язичницькі тексти і писали житіє якогось святого мученика. Того ж походження був і рукопис, що зацікавив Попандопуло. Приват-доцент був дуже слабкий в математиці і не надто зацікавився залишками змитого тексту (на щастя, монах, який писав трактат, полінувався і тільки змив текст, а не стер його). Він навів тільки маленьку цитату з давнього рукопису. Але для знаменитого данського історика математики Генберге цього уривка виявилося достатньо, щоб встановити – монах змив текст Архімеда.

Це був лист до Ератосфена. У ньому Архімед показує, як користуватися методом неподільних. Він розкладає циліндри, конуси і кулі на надзвичайно тонкі кружальця, доводить потрібне йому положення для одного з них, зазначає, що висновок повинен бути вірний і для інших, і, нарешті, каже абсолютно заборонену правовірним математикам фразу: так як тіло все складене з таких кіл і цілком заповнене ними, то твердження вірне для всього тіла.

Але лист Архімеда Ератосфену став відомий лише на початку XX століття. А серйозне, глибоке вивчення нескінченних множин, аналіз поняття нескінченності, почався лише в середині XIX століття. Творцями математичної теорії нескінченних множин були чеський вчений Б. Болтано (основна праця якого була, нажаль, опублікована лише через багато років після його смерті) і німецький математик Георг Кантор. Цікаво, що обидва творця теорії нескінченних множин були добре знайомі зі схоластичною наукою – Болтано був ченцем, а Кантор володів казуїстикою Талмуду. Але їм вдалося подолати порожнечу схоластичних суперечок і перетворити теорію нескінченних множин на важливу частину математики.

Автор: Н. Виленкин.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *