Занимательная математика. Рассказ о рыцаре де Мере.
Статья написана Павлом Чайкой, главным редактором журнала «Познавайка». С 2013 года, с момента основания журнала Павел Чайка посвятил себя популяризации науки в Украине и мире. Основная цель, как журнала, так и этой статьи – объяснить сложные научные темы простым и доступным языком
Один французский рыцарь, кавалер де Мере, был страстным игроком в кости. Он всячески старался разбогатеть при помощи игры и для этого придумывал разные усложненные правила, которые, как ему казалось, приведут его к цели. В то время стремление разбогатеть при помощи азартных игр охватывало, как болезнь, многих людей. Де Мере придумал, в частности, такие правила игры. Он предлагал бросить одну кость четыре раза подряд и бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет 6; если же этого не случалось, — ни разу не выпадало 6 очков,— то выигрывал его противник. Точное значение вероятности того, что в этих условиях выпадет 6 в то время было неизвестно, хотя было видно что оно близко к 1/2. Де Мере предполагал, что он будет чаще выигрывать, чем проигрывать, но все же обратился к своему знакомому, одному из крупнейших математиков XVII столетия — Блезу Паскалю (1623—1662) с просьбой рассчитать, какова вероятность выигрыша в придуманной им игре.
Приведем расчет Паскаля. При каждом отдельном бросании вероятность выпадения 6 равняется 1/6. Вероятность же того, что не выпадет 6 очков, равна 5/6. Далее, пусть мы бросим кость дважды. Повторим опыт, состоящий в двукратном бросании кости. Тогда наша вероятность в 5/6 увеличится в квадрате и будет составлять 25/36. Точно так же показывается, что вероятность того, что ни разу не выпадет 6 при трехкратном бросании кости, равна 125/216 (уже в кубе). Наконец, вероятность того, что при четырехкратном бросании ни разу не выпадет 6, равна 625/1296 (в четвертой степени). Таким образом, для рыцаря де Мере вероятность проигрыша была равна 625/1296 то есть меньше 1/2. Следовательно, вероятность выигрыша была больше половины. Значит, при каждой игре больше половины шансов было за то, что рыцарь выиграет; при многократном же повторении игры он почти, наверное, оказывался в выигрыше.
Действительно, чем больше рыцарь играл, тем больше он выигрывал. Кавалер де Мере был очень доволен и решил, что он открыл верный способ обогащения. Однако постепенно другим игрокам стало ясно, что эта игра для них невыгодна, и они перестали играть с де Мере. Надо было придумывать какие-то новые правила, и де Мере придумал новую игру. Он предложил бросать 2 кости 24 раза и бился об заклад, что сверху, хотя бы один раз, окажутся две пятерки. Де Мере считал, что и в этой игре он будет чаще выигрывать, чем проигрывать.
Но на этот раз рыцарь ошибся. Вероятность одновременного выпадения двух пятерок при бросании двух костей равна 1/36, так как всего возможных случаев 36. Поэтому вероятность того, что не выпадут две пятерки, равна 35/36. Вероятность того, что при 24-кратном бросании двух костей ни разу не выпадут две пятерки, равна соответственно 35/36 в двадцать четвертой степени, что больше 1/2. Следовательно, для рыцаря вероятность проигрыша была больше половины. Это значило, что чем больше рыцарь будет играть, тем больше он будет проигрывать. Так и случилось. Чем больше он играл, тем больше разорялся и, в конце концов, сделался нищим.
Самое интересное в этом историческом анекдоте заключается в том, что благодаря таким своеобразным «практическим запросам» появилась теория расчета случайных явлений. В XVII и XVIII вв. ученые смотрели на эти примеры как на «забавные случаи» приложения математических знаний к явлениям, которые не имеют широкого распространения. Ведь игрок в кости, мечтающий о богатстве, никак не заслуживает, чтобы в помощь ему была создана специальная наука. Но оказалось, что область приложений теории вероятностей изумительно широка. Теория вероятностей занимается изучением всех массовых явлений, т. е. всех часто повторяющихся случаев, в какой бы области жизни, науки или техники они ни встречались…
Автор: Павел Чайка, главный редактор журнала Познавайка
При написании статьи старался сделать ее максимально интересной, полезной и качественной. Буду благодарен за любую обратную связь и конструктивную критику в виде комментариев к статье. Также Ваше пожелание/вопрос/предложение можете написать на мою почту pavelchaika1983@gmail.com или в Фейсбук, с уважением автор.