Тайна бесконечности. Продолжение.

Геометрия

Если с идеей бесконечности в арифметике дела обстояли сравнительно благополучно, то про геометрию этого никак нельзя было сказать. Ведь именно противоречие с привычными геометрическими представлениями нанесло решительный удар представлениям Демокрита. Даже деление отрезка пополам превращалось у него в почти неразрешимую проблему. Представьте себе отрезок, состоящий из нечетного числа неделимых. Куда отнести среднюю неделимую — к правой или левой половине отрезка?

В обоих случаях получим неравные отрезки, и деление пополам окажется невозможным. Невозможно было бы разделить пополам и круг — центр круга отошел бы к одной из частей и она оказалась бы из-за этого больше другой части. Обычная геометрия справлялась с этим совсем просто — при делении отрезка пополам обе части снабжались концами, и никто не задумывался над тем, что из одной точки — середины отрезка — получились две. Геометры не воспринимали отрезок как множество точек. Их интересовала лишь длина этого отрезка, а от прибавления или отнимания одной точки длина отрезка не меняется.

И все-таки, пользуясь атомистическими представлениями, Демокрит сумел решить трудные математические задачи. В частности, это именно он нашел выражение для объема пирамиды. Но, несмотря на все эти успехи, математики того времени встретились с неразрешимыми проблемами. Апории Зенона настолько противоречили повседневному опыту, что поставили перед математиками вопрос — а можно ли пользоваться в математических рассуждениях понятием бесконечного? Следовать за Демокритом им тоже не хотелось — не иметь возможности разделить отрезок пополам, считать пирамиду и шар шершавыми телами им не понравилось.

И математики изгнали неделимые из своей науки. Вместе с неделимыми из математики была изгнана и бесконечность. И вот Евклид, формулируя свою знаменитую теорему о множестве простых чисел, выражается очень осторожно — «простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел». Видите — «больше всякого предложенного количества», а бесконечно много или нет — об этом Евклид умалчивает. Он, как и все современные ему математики, старался избегать понятия бесконечности. (К слову интересно смог бы Евклид, окажись он в нашем времени, сдать ЕГЭ по математике онлайн. Вопрос спорный ведь с его времени математика шагнула далеко вперед и любой школьник-троечник оказавшись во времени Евклида мог бы сойти за настоящего мудреца).

Отвергнув неделимые и бесконечные процессы, математики оказались в трудном положении — методы Демокрита, хоть и нестрого, но все-таки давали формулы для вычисления площадей и объемов. Теперь же пришлось разрабатывать новый способ вычисления геометрических величин, в котором бы ни звука не говорилось о бесконечности, о бесконечно малых, о неделимых. Такую процедуру создал в IV в. до н. э. Евдокс, разработавший метод исчерпывании (или, иначе, истощения), в котором некоторые видят предка современного метода пределов. Когда Евдоксу хотелось, на пример, доказать, что площади кругов относятся, как квадраты их диаметров, он сначала предполагал противное, — скажем, что отношение этих площадей больше отношения квадратов диаметров. А потом он строил такие многоугольники, что один из них был меньше другого, а площадь его оказывалась больше площади другого. Это противоречие доказывало ошибочность сделанного предположения.

Всем хорош был метод Евдокса, но у него был большой недостаток — сначала надо узнать, какой результат требуется доказать этим методом. А это можно было сделать лишь с помощью преданных анафеме методов Демокрита. В общем, гони бесконечность в дверь, она влетит в окно.

И ЛЕНЬ БЫВАЕТ ПОЛЕЗНА

Впрочем, сама она, конечно, не влетит. Пронеслись века, и достижения древних греков были прочно забыты. О бесконечности если и вспоминали, то только в дебатах на тему: «Бесконечно ли количество ангелов, которое может поместиться на кончике иглы?». И лишь в XVI—XVII веках ученые стали вновь, несмотря на преследования инквизиции, придумывать инфитизимальные — то есть основанные на понятии бесконечно малого — математические методы.

И, вероятно, мы и не догадывались бы, насколько античные математики опередили средневековых, если бы не одно происшествие, случившееся уже в начале XX века. В 1906 году приват-доцент Петербургского университета Попандопуло-Керамевс нашел в библиотеке одного из иерусалимских монастырей какой-то богословский трактат. Так как в средние века пергамент был очень дорог, то обычно брали древние книги, смывали или стирали с них языческие тексты и писали житие какого-нибудь святого мученика. Того же происхождения была и рукопись, заинтересовавшая Попандопуло. Приват-доцент был весьма слаб в математике и не слишком заинтересовался остатками смытого текста (к счастью, монах, писавший трактат, поленился и только смыл текст, а не стер его). Он привел только маленькую выдержку из древней рукописи. Но для знаменитого датского историка математики Генберга этой выдержки оказалось достаточно, чтобы установить — монах смыл текст Архимеда.

Это было письмо к Эратосфену. В нем Архимед показывает, как пользоваться методом неделимых. Он разлагает цилиндры, конусы и шары на чрезвычайно тонкие кружочки, доказывает нужное ему положение для одного из них, отмечает, что вывод должен быть верен и для остальных, и, наконец, говорит совершенно запрещенную правоверным математикам фразу: так как тело все сложено из таких кружков и целиком заполнено ими, то утверждение верно для всего тела.

Но письмо Архимеда Эратосфену стало известно лишь в начале XX века. А серьезное, глубокое изучение бесконечных множеств, анализ понятия бесконечности, началось лишь в середине XIX века. Творцами математической теории бесконечных множеств были чешский ученый Б. Болтано (основной труд которого был, к сожалению, опубликован лишь через много лет после его смерти) и немецкий математик Георг Кантор. Любопытно, что оба творца теории бесконечных множеств были хорошо знакомы со схоластической наукой — Болтано был монахом, а Кантор владел казуистикой Талмуда. Но им удалось преодолеть пустоту схоластических словопрений и превратить теорию бесконечных множеств в важную часть математики.

Автор: Н. Виленкин.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *