Принцип максимума. Продолжение.

математика

Если мы собираемся управлять каким-то объектом, то совершенно очевидно, что он должен иметь «рули» — устройства, которые позволяют изменять его движение. Положение «рулей» тоже характеризуется числами. Это может быть и количество топлива, подаваемого в двигатель, и сила тока, и угол наклона элеронов самолета. Поэтому управление объектом можно записать в виде последовательности цифр, описывающих положение «рулей» за время движения.

Любая реальная машина ограничена в своих возможностях. Нельзя подавать в двигатель слишком много горючего — он «захлебнется». Точно так же нельзя подвести в электромотор очень большой ток — сгорит обмотка. Следовательно, цифры, характеризующие положение «рулей», не могут быть больше каких-то предельных значений. Но равны этим значениям они могут быть.

Совершенно очевидно, что, приняв какое-то управление, то есть записав последовательные положения «рулей», мы заставим свой объект совершить вполне определенное движение. Скажем, задав автопилоту режим работы двигателей и порядок включения механизмов поворота, спуска и подъема, мы тем самым определим какую-то траекторию самолета, и тогда на перелет потребуется некоторое время. При ином управлении траектория будет другой и на полет уйдет другое время.

Существует такое управление, при котором на путешествие понадобится меньше всего времени. Это управление и будет оптимальным по быстродействию. Ученые доказали, что оптимальным является такое управление, и такая траектория, которые сделают максимальным некоторое математическое выражение.

Чтобы не уходить в те самые дебри, где математики «теряют» своих родственников, мы не станем выписывать эту сакраментальную формулу. А просто вспомним старую школьную шутку о «пифагоровых штанах».

Где-то в самом начале геометрии мы узнаем о том, что если треугольник прямоугольный, то его стороны удовлетворяют теореме Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. И теперь, если нам скажут, что у треугольного огорода одна сторона равна А метрам, другая — В, а третья — С, и если мы заметим, что А2+В2 = С2, то, не глядя на план, мы можем смело утверждать, что огород имеет форму прямоугольного треугольника.

Нечто аналогичное происходит и здесь: если управление оптимально, то оно удовлетворяет принципу максимума, найденному математиками. По формулировке принцип максимума напоминает теорему классического вариационного исчисления: если решение существует, то оно удовлетворяет уравнению Эйлера (а в более сложных случаях аналогичным уравнениям).

Однако принцип максимума гораздо могущественнее. Он, в частности, допускает и решения, лежащие на границе возможностей. Поэтому все те задачи, о которых мы говорили, неразрешимые с точки зрения вариационного исчисления, теперь решаются стандартным приемом, не требующим уже никаких хитростей.

Методы, предложенные учеными, по существу, заложили основу нового отдела высшей математики. Причем классическое вариационное исчисление Эйлера, Вейерштрасса и Лагранжа оказывается всего лишь частным случаем этой теории.

Ни одна математическая теория не всемогуща. А тем более молодая. Принципу максимума не так уж и много лет. Но уже сейчас его успехи чрезвычайно велики. Сегодня принцип максимума позволяет решать бесчисленное множество важных для практики задач. Но его творцы смотрят далеко вперед и выдвигают задачи невероятной сложности. Скажем, поиски оптимального управления случайными процессами. Правда, строго решить задачу об управлении совершенно случайным явлением пока не удалось. Но если оно подчиняется хотя бы законам теории вероятности, ответ может быть дан совершенно точный.

Автор: Л. Юрьев.

P. S. О чем еще говорят британские ученые: о том, что согласно математического принципа Максимума можно построить и многие современные маркетинговые стратегии, и даже такие вещи как лидогенерация, ее максимальная оптимизация.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *