Мир четырех измерений

Статья написана Павлом Чайкой, главным редактором журнала «Познавайка». С 2013 года, с момента основания журнала Павел Чайка посвятил себя популяризации науки в Украине и мире. Основная цель, как журнала, так и этой статьи – объяснить сложные научные темы простым и доступным языком

Мы живем в трехмерном мире. Именно поэтому нам трудно представить себе мир иного измерения. Сравнительно легко это сделать только для одномерного и двумерного пространства. Были даже попытки изобразить двумерный мир в художественной литературе. Был такой роман «Эпизод во Флетленде», написанный преподавателем математики Ч. Хинтоном. Свой Флетленд — плоскую страну — Хинтон населил людьми двух измерений. Это позволило ему образно рассказать о свойствах двумерного пространства. Люди двух измерений — фантазия Хинтона. Но если бы они существовали в действительности, им трудно было бы представить себе трехмерный мир: ведь «двумерны» Хинтона лишены опытного ощущения третьей координаты. Так же как «плоским людям» тяжело вообразить трехмерный мир, так нам, жителям этого трехмерного мира, трудно представить себе мир четырех измерений. Но все же давайте попробуем.

Как известно, положение точки на прямой задается одним числом (одной координатой), на плоскости — двумя, в пространстве — тремя координатами: абсциссой, ординатой и аппликатой. Поэтому математики называют прямую пространством одного измерения плоскость — двумерным пространством, а окружающий нас мир — пространством трех измерений.

Так как одно число задает точку в некотором одномерном пространстве, пара чисел — в двумерном, а тройка чисел — в трехмерном пространстве, то по аналогии можно считать, что совокупность четырех чисел определяет точку в четырехмерном пространстве, пяти — в пятимерном пространстве и т. д.

Понятие о четырехмерном мире можно ввести еще иначе. Прямую можно мыслить как одномерное пространство, образованное движущейся точкой. Плоскость — это двумерное пространство, которое образуется при движении прямой линии и направлении, перпендикулярном этой прямой линии. Пространство трех измерений получается, если двигать плоскость в направлении, перпендикулярном плоскости. Следовательно, четырехерное пространство можно представлять себе как некоторый геометрический объект, который возникает при движении трехмерного пространства в каком-то неизвестном нам направлении, «перпендикулярном» трехмерному пространству. Изучать четырехмерное пространство можно различными способами. Расскажем вначале, как можно устанавливать свойства пространства четырех измерений алгебраическими методами.

Как известно, уравнение, связывающее две переменные величины, задает линию на плоскости. Например, запись x²+y²=25 означает окружность с центром в начале координат и радиусом, равным пяти. Соотношение, связывающее три переменные величины, определяет поверхность в трехмерном пространстве, x²+y²+z²=25 – это уравнение сферы в пространстве трех измерений. По аналогии можно считать, что уравнение x²+y²+z²+u²=25 задает сферу в четырёхмерном пространстве. Радиус этой сферы тоже равен пяти, а центр находится в начале: координат. Изучая уравнение с четырьмя переменными, мы можем делать выводы о свойствах сферы четырех измерений, аналогично тому, как, изучая уравнение x²+y²+z²=25 мы делаем выводы о свойствах обычной сферы.

Способ изучения четырехмерного мира с помощью алгебры в какой-то мере косвенный. Можно указать непосредственно геометрические методы изучения пространства четырех измерений.

Представьте себе, что вы смотрите сверху на стеклянный куб, стоящий на столе. Этот рисунок — плоская фигура. Она получена следующим образом: нарисован большой квадрат, затем в нем — меньший, и, наконец, вершины квадратов соединены отрезками прямых линий.

Следовательно, пользуясь квадратом, мы можем нарисовать плоскую фигуру и с ее помощью изучать тело трех измерений, Например, глядя на рисунок, мы можем сказать, что трехмерный куб имеет шесть граней, 8 вершин, 12 ребер и т. д.

Точно так же, как был нарисован меньший квадрат в большем, мы можем поместить меньший куб в большем и соединить ребра кубов плоскостями, как раньше соединяли отрезками вершины квадратов. По аналогии мы можем рассматривать получившуюся фигуру как трехмерное изображение четырехмерного куба. С помощью рисунка мы можем сделать вывод, что четырехмерный куб ограничен восемью трехмерными кубами и имеет 16 вершин, 24 грани и 32 ребра.

Другой геометрический метод изучения четырехмерного пространства основан на методе развертки. Представьте себе, что контур, ограничивающий квадрат, сделан из проволоки. Тогда, разрезав проволоку и распрямив ее, мы получим отрезок. Так от двумерной фигуры можно перейти к одномерной, от квадрата — к отрезку.

На листе бумаги нарисована окружность. Поставьте карандаш острием на лист бумаги вне окружности и попробуйте дотронуться грифелем до центра окружности, не отрывая карандаш от бумаги и не пересекая окружность. Сделать это невозможно. Чтобы коснуться центра окружности, не пересекая ее, придется оторвать карандаш от бумаги — вывести его в третье измерение.

Подобно тому, как в пространстве трех измерений точка может войти в круг и выйти из него, не прикасаясь к окружности, так в пространстве четырех измерений тело может войти внутрь сферы или выйти из нее, не повреждая поверхности сферы. Следовательно, все закрытое, всякие внутрение области в нашем трехмерном мире открыты для обозрения или действия из четвертого измерения. В четырехмерном пространстве резиновый мячик может быть без разрывов вывернут наизнанку, а два кольца цепи разъединены без нарушения их целостности.

Или другой пример. В трехмерном пространстве движется материальная точка. Понятно, что в каждый данный момент времени t точка имеет определенные координаты х, y, z. Эти четверки чисел (х, у, z, t) можно рассматривать как координаты некоторой точки в пространстве четырех измерений. Именно так и поступают физики. Особенно тесную связь между пространством и временем устанавливает теория относительности, которая рассматривает движение тел как перемещение их в пространственно-временном четырехмерном мире.

И последний пример. Отправным пунктом для построения классической статистической физики служат представления о фазовом пространстве — пространстве всех обобщенных координат и всех обобщенных импульсов рассматриваемой системы. Совокупность значений всех координат и импульсов для некоторого момента времени полностью определяет состояние («фазу») системы. Изменение состояния системы со временем можно представлять как движение точки по некоторой линии в фазовом пространстве — фазовой траектории. Если изучаемая система зависит только от двух координат, то фазовое пространство — пространство четырех измерений, так как любая точка в нем задается четырьмя числами: двумя координатами и двумя импульсами.

Изучение четырехмерного мира обогащает геометрию. Так, например, окружность, рассматриваемая только как совокупность точек (одномерная кривая), имеет очень мало особенностей. Та же окружность, рассматриваемая в плоскости, имеет центр, радиусы, касательные и т. д., а в трехмерном пространстве она уже вступает в геометрические отношения с другими фигурами: сферой, конусом, цилиндром.

Известно, что физический процесс можно описать тем или иным математическим уравнением. Если в такое уравнение входят четыре переменные величины, то, изучая свойства этого уравнения, мы тем самым будем изучать свойства четырехмерного мира. Наоборот, изучая свойства четырехмерного пространства, мы узнаем особенности уравнений четырех переменных и на их основе можем делать выводы о характере тех или иных физических процессов.

Таким образом, изучение многомерных пространств развивает геометрические представления, а также находит свое практическое применение при исследовании различных физических процессов со многими параметрами.

Автор: В. Лишевский.